（LeetCode每日一刷70）62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

 

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

 

思路

（1）确定状态

若即Finish位置为(m-1, n-1)，则最后一步有两种情况走到（m-2, n-1）或者（m-1, n-2）。

而子问题就可以划分为，如果机器人有X种方式从start走到（m-2, n-1），有Y种方式走到（m-1, n-2），则机器人有X+Y种方式走到(m-1, n-1)。

    这里为什么能用加法，因为机器人只能向下或者向右，所以必定没有重复和遗漏。

    这里如何确定要开一维数组还是二维数组，看要求中有几个变量，本题求有几种方式从左上角走到（m-1, n-1），有两个变量所以开二维数组。

    状态：设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到（i, j）。

 

（2）状态方程

对于任意一个格子(i, j)

    f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];

 

（3）初始条件和边界条件

初始条件：f[0][0] = 1，因为机器人只有一种方式到左上角

边界情况：i=0或者j=0，则前一步只能有一个方向过来，即f[i][j]=1

 

（4）计算顺序

f[0][0] = 1;

计算第0行：f[0][0],f[0][1],…,f[0][n-1]

计算第1行：f[1][0],f[1][1],…,f[1][n-1]

…

计算第m-1行，f[m-1][0],f[m-1][1],…,f[m-1][n-1]

 

时间复杂度：O(MN), 空间复杂度O(MN)

 

代码实现

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 开数组
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));
        // 初始条件
        f[0][0] = 1;
        // 边界条件
        for (int i = 0; i < n; i++)
            f[0][i] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            f[i][0] = 1;
        // 状态方程：按一行行来计算
        for (int i = 1; i < m; i++)
            for (int j = 1; j < n; j++)
                f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
        
        return f[m-1][n-1];
    }
};