二部图和匈牙利算法

二部图

二部图的定义：设$G$是一个图，若$V(G)$有一个划分：$V(G)=V_1\bigcup V_2$，使得<$V_1$><$V_2$>都是空图，那么称图$G$是一个双图，或二部图，或二分图。
简单来说，就是在图中切上一刀，就能使所有点变成孤立的，如下图沿着红线切一刀。
判定二分图一般使用标号法，即将一个顶点和与之相邻的顶点标为不同，若此过程可以一直进行下去，则为二分图。

代码判定
下面给出深搜的判定，广搜当然也可以（只要维护一个队列）。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
const int N = 505;
int m,n;
int color[N];
int edge[N][N];
 
bool dfs(int v, int c){
    color[v] = c;    //将当前顶点涂色
    for(int i = 0; i < n; i++){    //遍历所有相邻顶点，即连着的点
        if(edge[v][i] == 1){    //如果顶点存在
            if(color[i] == c)    //如果颜色重复，就返回false
                return false;
            if(color[i] == 0 && !dfs(i,-c))    //如果还未涂色，就染上相反的颜色-c,并dfs这个顶点，进入下一层
                return false;   //返回false
        }
    }
    return true;   //如果所有顶点涂完色，并且没有出现同色的相邻顶点，就返回true
}
 
void solve(){
    for(int i = 0; i < n; i++){//对每一点都要判定，因为图可能不是连通的
        if(color[i] == 0){
            if(!dfs(i, 1)){
                printf("NOT BICOLORABLE.\n");
                return;
            }
        }
    }
    printf("BICOLORABLE.\n");
}
 
int main(){
    int u,v;
    while(cin >> n >> m){
        memset(color, 0, sizeof(color));
        memset(edge, 0, sizeof(edge));
        for(int i = 0; i < m; i++){
            cin >> u >> v;    //因为是无向图，所以要往两个方向添加边
            edge[u][v] = 1;    //正着添加
            edge[v][u] = 1;    //反着添加
        }
        solve();
    }
    return 0;
}

匈牙利算法

基本概念：

• 图$G$的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。
  如图就是之前的图的一个匹配。可知：1. 匹配是边的集合；2. 在该集合中，任意两条边不能有共同的顶点。
  
  就好像参加相亲节目，在不考虑同性恋的情况下，要给匹配合适的对象，有边代表男女嘉宾互有好感。所谓最大匹配，就是节目效果要达到最好，需要尽可能多的互有好感的人配对。
  匈牙利算法可以解决二部图上最大匹配问题。该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
  ——上面的描述看起来很绕而且有很多概念对不对，下面我们直观地感受一下算法的过程。你会发现，其实我们做的是月老的活。
  首先，我们这个相亲节目在先来后到的基础上很照顾后来的人，会优先考虑后来人的需求，但同时也不能拆散先来的人让他遗憾离场。
  
  现在有三个男嘉宾和三个女嘉宾，男嘉宾有选择权。先从一号男嘉宾开始，他选择了1号女嘉宾，3号女嘉宾成为了他的备胎。
  
  2号男嘉宾来了，他说我也要1号女嘉宾，1号男嘉宾你往后稍稍。节目组这时候劝说1号男嘉宾，哎，你还有3号备胎，你把1号女嘉宾让给2号男嘉宾吧！
  1号一想也是，不如顺便送个人情，于是他换成了3号女嘉宾，2号男嘉宾如愿匹配了1号女嘉宾,并把2号女嘉宾作为了自己的备胎。
  
  这时3号男嘉宾上场，他说我为1号而来！我只要1号！节目组的老好人们又去劝说正和1号牵线的2号男嘉宾。当然2号男嘉宾也同意了，毕竟他还有2号备胎嘛！
  于是本期节目皆大欢喜，大家都牵手成功~
  
  ——这个匹配即是最大匹配，也是完美匹配。
  但是有没有失败而归的情况呢？也是有的：
  假如是这样一张图：
  
  1号2号男嘉宾已经进行了协调和选择：
  
  这时候3号男嘉宾来了，还是非1号不可。节目组劝说2号，2号说我要看看备胎在不在，于是询问3号女嘉宾。
  3号女嘉宾说我得问问1号男嘉宾还有没有备胎。（这是一个递归的过程）
  1号男嘉宾：你就是我的备胎！我的原配已经给2号了！
  于是3号女嘉宾告诉2号，对不起啊，1号没有选择了，我也不当你的备胎了。
  于是2号男嘉宾告诉节目组，对不起啊，我也没有选择了，我不让。
  节目组当然尊重他们的选择，毕竟不能强行拆散，只为了3号男嘉宾。所以节目组告诉3号男嘉宾，对不起啊，你没有牵手成功。
  匹配结果如下：
  
  这是一个最大匹配（满足多数人的需求），但不是完美匹配。

实现代码

题例：POJ1274
大意：有n个槽和m头牛，牛只在特定的几个槽才产奶，求最多几头牛可以产奶。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn = 220;
int n,m;
int mark[maxn];
int match[maxn];
int maze[maxn][maxn];
int ans;

bool Find(int x){
    for(int i = 1;i <= m;++i){
        if(maze[x][i] && !mark[i]){  //如果牛在这里产奶且槽还没问过
            mark[i] = 1;
            if(match[i] == 0 || Find(match[i])){//如果没分配或者分配了但是可以找到别的给那个对象
                match[i] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

void slove(){
    memset(match,0,sizeof(match));
    ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n;++i){
        memset(mark,0,sizeof(mark));
        if(Find(i))ans++;
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        for(int i = 1; i <= n;++i)
            for(int j = 1; j <= m;++j)
            maze[i][j] = 0;

        for(int i = 1; i <= n;++i){
            int x;
            scanf("%d",&x);
            for(int j = 1; j <= x;++j){
                    int tmp;
                scanf("%d",&tmp);
                maze[i][tmp] = 1;
            }
        }
        slove();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

最大匹配数=最小点覆盖数。因此最小点覆盖也可以转化为最大匹配问题。
一些例题：
POJ1325
POJ3692(需要建补图，是最大独立集的问题）
POJ1469
POJ3041*这个问题的转化比较巧妙了，题目大意是一个网格里有一些障碍物，一发炮弹可以清除同一行或者同一列的障碍物，问最少开几枪。转化障碍物坐标，行坐标为一个集合，列坐标为一个集合，障碍物的坐标连线，使用匈牙利算法。
（大概是考虑在同一行则行坐标相等，尽可能多的为不同的行坐标都能匹配到列坐标。。。）
应用可以参考这篇博客：匈牙利算法—介绍与基本用途