历届试题 格子刷油漆（dp）

问题描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　　输出数据为一个正整数。

样例输入

2
3
22

样例输出

24
96
359635897

解题思路

建立两个数组a[],b[]，b标记从边缘上的一点出发，最终返回到这一列另一点的方法数；
a标记从边缘上一点出发可行的全部的方法数；
b[]的递推：
  由于每个格子只能经过一次且要返回，所以每一步都存在两种选择（走直线或者对角线），所以$b[i]=2^{i-1}$；
a[]的递推：
  （1）从边缘上一点出发，最终返回同一列的另一点，即b[i];
  （2）从边缘上一点出发，一列一列的向前走不返回，这样从一列走到相邻的一列同样对应着走直线和对角线两种情况 即2*a[i-1]；
  （3）从边缘上一点出发，走交叉线，如下图（3），有两种可选择的走法，且在进入到下一列时同样有直走和走对角线两种方法，方法数则为2*2*a[i-2];

处理完a[],b[]数组之后来讨论总的方法数应该如何求解：
（1）从顶点即边缘上的一点出发，即a[]，则四个顶点对应四种情况，即4*a[n];
（2）从中间的某一点出发：
  ①先向左走，则必定要返回到出发点所在列的另一点（b[i]），再继续向右走（a[n-i]）；由于出发时一列有两个顶点可选择，则b[i]*2，又因为向右走时可选择直走或者选择对角线，所以a[n-i]*2.即4*b[i]*a[n-i]；
  ②同样的，可以选择先向右走，可得结果 4*b[n-i]*a[i].
综上，总的方法数为$4*a[n]+\sum_{i=2}^{n-1}(4*b[i]*a[n-i]+4*b[n-i]*a[i])$.

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll;
const int maxn = 1007;
ll b[maxn],a[maxn];
int n;
void init()
{
    b[1]=1,b[2]=2;
    a[1]=1,a[2]=6;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        b[i]=b[i-1]*2%mod;
        a[i]=(b[i]%mod+2*a[i-1]%mod+4*a[i-2]%mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    ll res=0;
    for(int i=2;i<n;i++){
        res=(res+2*b[i]*2*a[n-i])%mod;
        res=(res+2*a[n-i]*2*b[i])%mod;
    }
    res=(res+4*a[n])%mod;
    printf("%lld\n",res);
    return 0;
}