51nod 1829 函数（组合数+容斥）

最新推荐文章于 2020-10-08 20:22:28 发布

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本文介绍了一种计算特定函数映射方案数量的方法，即对于给定的集合A和B（|A|=n,|B|=m），求所有可能的映射关系使得B中的每个元素至少被A中的一个元素覆盖一次。通过遍历B中可被选择的元素数量，并利用组合数学中的容斥原理，最终计算出符合要求的映射总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

想知道f:A->B这个函数（其中|A|=n, |B|=m）的所有映射关系要使B的每个元素都要被A的一个元素覆盖到。
数字可能很大你只要输出方案数模1,000,000,007即可。

Input

一共一行两个数，n和m。（1<=n,m<=1,000,000)

Output

一共一行包含一个方案数。

Input示例

2 2

Output示例

解题思路

映射是在A中的每个元素在B中都有唯一一个与之对应，知识点越来越退化了……在该题中要求B的每个元素都要被A的一个元素覆盖到。
用 i 来遍历分配时B中可被选择到的元素个数， $C_m^i*i^n$ 代表当前状态下可选择的所有情况，再使用容斥来求得B中所有元素均被选中的种类数。
$C_m^i=\frac{A_m^m}{A_i^i*A_{m-i}^{m-i}}$ ，因为需要取模，所以在相除的时候需要使用乘法逆元来转化。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 1000007
const ll mod=1e9+7;
ll a[maxn];
ll quick_pow(ll a,ll b)
{
    ll cnt=1;
    while(b>0)
    {
        if(b%2)
            cnt=cnt*a%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b/=2;
    }
    return cnt;
}
void init()
{
    a[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        a[i]=a[i-1]*i%mod;
}
ll calc(ll x,ll y)
{
    if(x>y) return x;
    else
        return (a[y]*quick_pow(a[x]*a[y-x]%mod,mod-2))%mod;
}
int main()
{
    ll n,m;
    ll ans=0;
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    init();
    int mark=1;
    for(int i=m;i>=1;i--)   //i代表当前B中可被选择的元素个数
    {
        ans=((ans+calc(i,m)*quick_pow(i,n)%mod*mark)%mod+mod)%mod;
        mark*=(-1);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}