图的概念，图的存储结构（邻接矩阵，邻接表）及相关算法

一. 图的相关概念和术语

概念

1. 在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意个数元素之间都可能相关。
2. 任何复杂的图都是由顶点和边（弧）构成的。
3. 采用形式化的定义，图G由两个集合V和E组成，记为G=(V,E)，其中V是顶点的有限集合，记为V(G),E是连接V中两个不同顶点的边（弧）的有限集合，记为E(G).
4. 对于含有n个顶点的图，通常用字母或自然数来唯一标识图中顶点（顶点的编号）。
   如在所给的图中，顶点可以使用字符Vi来表示，也可以用数字i（0<=i<=n-1）来表示第i个顶点Vi的编号。

无向图

1. 对于一个图G，若边集E(G)为无向边，则称该图为无向图。如下图。
   
2. 在一个无向图中，若存在一条边 （i，j），则称顶点i，j为该边的两个顶点，并称它们互为邻接点（或者相邻点）。如上图，0和1互为邻接点。

有向图

1. 对于一个图G，若边集E(G)为有向边，则称该图为有向图。如下图。
   
2. 在一个有向图中，若存在一条边（弧）<i,j>，则称此边（弧）是顶点（弧尾）i 的一条出边，同时也是顶点（弧头）j 的一条入边，称顶点 i 和 j 分别是此边的起始顶点（简称为起点）和终止顶点（简称为终点）。
   如上图，对于边<0,1>，该边是顶点0的出边，顶点1是入边，同时，顶点0称为起点，顶点1称为终点。
3. 对于边<0,1>，则称顶点0“邻接到”顶点1，顶点1“邻接自”顶点0，弧<0,1>与顶点0和1“相关联”。

度，入度和出度

1. 顶点v的度记为D（v）。
2. 对于无向图，每个顶点v的度定义为和v顶点相关联的边的数目。
3. 对于有向图，顶点的度分为入度和出度。
4. 入度是以该顶点为弧头（终点）的入边数目。
5. 出度是以该顶点为弧尾（起点）的出边数目。
6. 该顶点的度D（v）=其出度ID（v）+其入度OD（v）。
   
7. 若一个图中（无论有向图还是无向图）中有n个顶点和e条边，每个顶点的度为Di（0<=i<=n-1），则有：
   
   即一个图中所有顶点的度之和=边数的两倍。

子图

1. 设有两个图G=(V,E)和G’=（V’,E’），若V’是V的子集，且E’是E的子集，则称G’是G的子图。
2. 注：对于一个图G=(V,E)，V’是V的子集，且E’是E的子集。而(V’,E’)可能不是一个图，所以由V的子集和E的子集并非一定构成G的子图。
   

完全无向图和完全有向图

1. 对于无向图，若具有n（n-1）/2条边，则称之为完全无向图。如左图。
2. 对于有向图，若具有n（n-1）条边，则称之为完全有向图。如右图。
   

稀疏图和稠密图

边数较少（边数e<<log2（n），其中n为顶点数）的图称为稀疏图，边数较多的称为稠密图。

简单路径，回路（环）

1. 若一条路径的顶点序列中顶点不重复出现，则该路径为简单路径。
2. 若一条路径上的开始点和结束点为同一个顶点，则称该路径为回路（环）。
3. 除开始点和结束点相同外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路（简单环）。

连通，连通图和连通分量（无向图）

1. 在无向图G中，若从顶点 i 到顶点 j 有路径，则称顶点 i 和 j 是连通的。
2. 若G中任意两个顶点都是连通的，则称无向图G为连通图，否则为非连通图。
3. 无向图G中极大连通子图称为G的连通分量。

强连通图和强联通分量（有向图）

1. 在有向图G中，若任意两个顶点 i 和 j 都是连通的，即从顶点 i 到 j 和从顶点 j 到 i 都存在路径，则称该图是强连通图。
2. 有向图G中极大强联通子图称为G的强联通分量。

权和网

在一个图中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权，边上带权的图称为带权图，也称为网。一般规定所有边的权均为非负数。

二. 图的存储结构—邻接矩阵

邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E）是具有n个顶点的图，顶点编号依次为0，1，…，n-1，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A。
若G是不带权的图：

若G是带权图或网：

Wij 为边（i，j）或<i,j>的权

无向图

1. 无向图的矩阵一定是一个对称矩阵。
2. 每一行或每一列代表相应顶点的度。

有向图

1. 有向图的矩阵不一定是一个对称矩阵。
2. 每一行代表相应顶点的出度。
3. 每一列代表相应顶点的入度

有权图（网）

1. 有向图时不一定是一个对称矩阵。
2. 入度和出度与有向图的计算方式一样。

图的邻接矩阵的特点

1. 对于n个顶点e条边的图采用邻接矩阵存储时占据存储空间为O(n*n），与边数e无关（不考虑压缩存储），特别适合存储稠密图。
2. 任何图的邻接矩阵表示是唯一的。
3. 图采用邻接矩阵存储时判断两个顶点 i 和 j 之间是否有边十分容易。

图的邻接矩阵类型声明

#define INF  INT_MAX    //用整型最大值代替∞ 
#define MAXVEX 30       //图中最大顶点个数 
typedef char VertexType[4]; //定义VertexType为字符串类型 

typedef struct vertex
{
   
	int adjvex;         //顶点编号 
	VertexType data;    //顶点的信息 
}VType;					//顶点类型 

typedef struct graph
{