leetcode-题解-盛最多水的容器（数学 证明 双指针法）

题目：https://leetcode-cn.com/problems/container-with-most-water/

给你 n 个非负整数 a1，a2，…，an，每个数代表坐标中的一个点 (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i 的两个端点分别为 (i, ai) 和 (i, 0) 。找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

来源：力扣（LeetCode）
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解：
设x轴的范围为[0, n], 设i初始值为0，j初始值为n，故问题 转为求 x在[i, j]范围内 盛最多水的问题，记作MaxP(i,j)，进行下面的判断

1.1）若Yi <= Yj, 则area(1) = (j - i) * Yi。
假设最终结果为(i, d)2个位置 盛水最多，则area = min(Yi, Yd) * (d - i) <= Yi * (d - i)
又知道 d 范围 [i, j], 即 d <= j, 故area <= area(1)。

即若最终结果包含i位置，则其最值必然为area1，因此最初的问题 可转为 max(除i外的最大值, area(1))，
即max(MaxP(i+1, j), area(1))的问题。

2）若Yi > Yj, 则area(1) = (j - i) * Yj。
同理问题MaxP(i, j) 可转化为 max( MaxP(i, j-1), area(1))的问题。
即将规模n + 1的问题，将为了n的问题

2.若i != j, 循环继续1）、2）步骤，最终将问题降为规模为1的问题，

最终可知MaxP(i, j) = max(area(1), area(2), area(3),…, area(N))的问题, 即数列area(x)的最大值问题。

算法步骤相当于：
设i = 0，j = n, res = 0;
1）res = max(res, (j-i) * min(Yi, Yj)), 若Yi <= Yj, i++, 否则j–；
2）若i != j，继续1）；
3）返回结果res。

    public int maxArea(int[] height) {
        int i = 0;
        int j = height.length - 1;
        int max = 0;
        while (i < j) {
            int area = j - i;
            area *= height[i] <= height[j] ? height[i++] : height[j--];
            if (max < area) {
                max = area;
            }
        }
        return max;
    }