强连通分支

1。定义：有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

现在来说说求有向图强连通分支的tarjan算法：

算法思路：这个算法思路不难理解，由开篇第一句话可知，任何一个强连通分量，必定是对原图的深度优先搜索树的子树。那么其实，我们只要确定每个强连通分量的子树的根，然后根据这些根从树的最低层开始，一个一个的拿出强连通分量即可。那么剩下的问题就只剩下如何确定强连通分量的根和如何从最低层开始拿出强连通分量了。

　　那么如何确定强连通分量的根，在这里我们维护两个数组，一个是indx[1..n]，一个是mlik[1..n]，其中indx[i]表示顶点i开始访问时间，mlik[i]为与顶点i邻接的顶点未删除顶点j的mlik[j]和mlik[i]的最小值(mlik[i]初始化为indx[i])。这样，在一次深搜的回溯过程中，如果发现mlik[i]==indx[i]那么，当前顶点就是一个强连通分量的根，为什么呢？因为如果它不是强连通分量的根，那么它一定是属于另一个强连通分量，而且它的根是当前顶点的祖宗，那么存在包含当前顶点的到其祖宗的回路，可知mlik[i]一定被更改为一个比indx[i]更小的值。

　　至于如何拿出强连通分量，这个其实很简单，如果当前节点为一个强连通分量的根，那么它的强连通分量一定是以该根为根节点的(剩下节点)子树。在深度优先遍历的时候维护一个堆栈，每次访问一个新节点，就压入堆栈。现在知道如何拿出了强连通分量了吧？是的，因为当前节点是这个强连通分量中最先被压人堆栈的，那么在当前节点以后压入堆栈的并且仍在堆栈中的节点都属于这个强连通分量。当然有人会问真的吗？假设一个节点在当前节点压入堆栈以后压入并且还存在，同时它不属于该强连通分量，那么它一定属于另一个强连通分量，但当前节点是它的根的祖宗，那么这个强连通分量应该在此之前已经被拿出。现在没有疑问了吧，那么算法介绍就完了。

如下图：

其实每一次都是去找“环”，如果找到“环”，那说明环中的节点就是强连通分支中的节点，因此每次都是去找环。

算法流程如下：

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

 Low(u)=Min{    DFN(u),    Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)}

   当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

接下来是对算法流程的演示。

（1）从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

 

(2)

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

(3)

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

(4)

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

 

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

 

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

 

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

算法代码如下：

/* 那么如何确定强连通分量的根，在这里我们维护两个数组，一个是indx[1..n]，一个是mlik[1..n]，其中indx[i]表示顶点i开始访问时间，mlik[i]为与顶点i邻接的顶点未删除顶点j的mlik[j]和mlik[i]的最小值(mlik[i]初始化为indx[i])。这样，在一次深搜的回溯过程中，如果发现mlik[i]==indx[i]那么，当前顶点就是一个强连通分量的根，为什么呢？因为如果它不是强连通分量的根，那么它一定是属于另一个强连通分量，而且它的根是当前顶点的祖宗，那么存在包含当前顶点的到其祖宗的回路，可知mlik[i]一定被更改为一个比indx[i]更小的值。 */#include<stdio.h> #include<vector> using namespace std; #define MY_MAX 1004 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) bool visited[MY_MAX], instack[MY_MAX]; int stack[MY_MAX], top; //int N, M; vector<int> graph[MY_MAX]; vector<int> belong[MY_MAX]; int dfn[MY_MAX], low[MY_MAX]; int INDEX, num; void tarjan(int u) { int v; dfn[u] = low[u] = INDEX++; stack[++top] = u; instack[u] = true; visited[u] = true; for(size_t i=0; i<graph[u].size(); ++i) { v = graph[u][i]; if(!visited[v]) { tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if(instack[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } if(dfn[u] == low[u]) { ++num; belong[num].push_back(u); do { v = stack[top--]; belong[num].push_back(v); instack[v] = false; }while(v != u); } // printf("%d/n",num); } int main() { freopen("in.txt","r",stdin); int n, m, i, a, b, j; while(scanf("%d %d",&n, &m)!=EOF) { memset(low,0,sizeof(low)); memset(stack,0,sizeof(stack)); memset(dfn,0,sizeof(dfn)); memset(instack,0,sizeof(instack)); memset(visited,0,sizeof(visited)); INDEX = 0; top = 0; num = 0; for(i=1; i<=n; i++) graph[i].clear(); for(i=1; i<=m; i++) { scanf("%d %d",&a, &b); graph[a].push_back(b); } for(i=1; i<=n; i++) if(!visited[i]) tarjan(i); printf("%d/n",num); for(i=1; i<=num; i++) { for(j=1; j<belong[i].size(); j++) printf("%d/t",belong[i][j]); printf("/n"); } } return 0; }