数据结构与算法【二叉树基础】

最新推荐文章于 2024-08-26 19:45:45 发布

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#数据结构

本文介绍了树和二叉树的基本概念，包括树的递归定义、重要概念如节点度、叶节点和分支节点，以及树的表示方法。此外，还详细讲解了二叉树的特性，如满二叉树和完全二叉树，并给出了二叉树的存储结构。最后，通过实例和习题帮助读者巩固理解。

在我们学习数据结构的时候，树形结构是比较重要且有难度的一章，在这篇文章中，我会将树以及二叉树的一些基本性质进行讲解，以便为后续学习更复杂的树形结构打好基础.

一.树的概念及结构

1.1 树的概念

1. 树的概念：树是一种非线性的数据结构，它是由n（n >= 0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树中有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
除根结点外，其余结点被分成M（M > 0）个互不相交的集合T1，T2.....Tm，其中每一个集合Ti（i <= m）又是一棵与树类似的子树.每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的

以上概念可以用简单的术语和图来描述

比如：这是一棵树

根据定义，这棵树的根结点为A，显然，这些节点之间的关系是非线性的，树是一种非线性的结构

也可以看出，这棵树除根结点外，其余结点均有且只有一个前驱结点.

那如何理解树是递归定义的？

就拿上面那棵树来举例，可以看出图中以A为根结点其余结点为子结点可以整体看作一棵树，而根结点A的子结点B，C，D也可以看作是根结点，也可以与它下面的结点构成一棵树，如图：

根据这幅图可以看出，B，C，D，分别又以各自为根结点以及与它们相连的结点组成了一棵树.

那么，再接着，又可以继续像上面一样，把B，C，D的子结点再看成一棵独立的树(如图中蓝色的笔画圈出)

那么，这样分割下去，其实树中的每个结点都可以当作一个根结点，去找出一棵树，所以说，树是一种递归定义的结构.

根据上面的定义，我们就认识了树这个结构，那么，我们怎样去判断一个结构它是不是树呢？

有如下的总结来帮助我们判断：

注意：树形结构中，子树之间不能发生相交，否则就不是树形结构

1.2 树的重要概念

2.树的一些相关概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

以上就是关于树的一些概念，读者可仔细阅读理解，其中比较重要且常用的已标红，可重点去看.

1.3 树的表示

3.树的表示：

树形结构相较于线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点与结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等.

在这里，我们就了解一下最常用的孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
     struct Node* _firstChild1; //第一个孩子结点
     struct Node* _pNextBrother; //指向其下一个兄弟结点
     DataType _data;   //结点中的数据域
};

各结点之间的关系如图所示：

可以用如下的图来更直观的了解：

1.4 树在实际中的应用

4.树在实际中的应用：（表示文件系统的目录树结构）

二. 二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是一个结点的有限集合，该集合：

1.为空

2.由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

由上图可以看出

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下结点复合而成的：

其实这样的结构，我们在现实中，也能看到：

如果对于二叉树比较熟悉的人，应该第一眼就能想到，这是二叉树结构.

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是
说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^k - 1$ ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K
的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对
应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

对于一棵完全二叉树：它的前k-1层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左往右是连续的.

2.3 二叉树的性质

接下来，我们着重来了解二叉树的一些性质并且画图分析：

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i - 1}$ 个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 $2^h - 1$

3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 $n_{0} = n_{2} + 1$

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = $log_{2}(n + 1)$ . (ps：是log以2为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0时，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空

间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺

存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所

在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链.

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data; // 当前节点值域
};


// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
     struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data; // 当前节点值域
};

在最后，学习了以上的知识点，学以致用，试着去做几道题叭~

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

答案：
1.B
2.A
3.A
4.B
5.B