信息学奥赛第十节 —— 贪心算法(渡河问题POJ 1700 Crossing River + 拦截导弹的系统数量求解)

复习概念

贪心算法又叫贪婪算法，是指在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，贪心算法不从整体最优上加以考虑，它所做出的是在某种意义上的局部最优解。
无后效性：贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。
贪心算法使用的前提：局部最优解一定能导致全局最优解。

贪心算法的过程

• 建立数学模型来描述问题
• 把求解的问题分成若干个子问题
• 对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解
• 把子问题的局部最优解合成原来解问题的一个解

贪心算法之渡河问题 POJ 1700 Crossing River

问题描述

现在有一群人，到了一条河旁边，想要过河，但船只有一条，这条船一次最多能载两个人，开到了对面还需要一个人负责把船开回来，而且若多人坐船，船的速度还是由慢的那个人决定，现在求如何分配坐船，使总时间最短。

输入

输入t组数据，每组数据第1行输入n，第二行输入n个数，表示每人过河的时间

输出

输出t行数据，每行1个数，表示每组过河的最少时间

样例输入

1
4
1 2 5 10

样例输出

17

贪心策略的选取：

• 策略一：每次选择当前过河速度最快的两个人。首先选择1与2同时过河，总时间为2，然后需要1把船开回来，此时总时间为2+1=3；接着选择1与5同时过河，再用1把船开回来，此时总时间变为3+5+1=9；最后一趟，1与10同时过河，过河时间为10，总时间变为9+10=19。

• 策略二：每次选择当前过河速度最慢的两个人。首先选择5与10同时过河，总时间为10，然后需要5把船开回来，此时总时间为10+5=15；接着选择2与5同时过河，再用2把船开回来，此时总时间变为15+5+2=22；最后一趟，1与2同时过河，过河时间为2，总时间变为22+2=24。

• 策略三：每次选择当前过河速度最快和最慢的两个人。首先选择1与10同时过河，总时间为10，然后需要1把船开回来，此时总时间为10+1=11；接着选择1与5同时过河，再用1把船开回来，此时总时间变为11+5+1=17；最后一趟，1与2同时过河，过河时间为2，总时间变为17+2=19。
  

• 不难发现，以上三种贪心策略均达不到最优解

• 策略四：先让两个最快的过河，首先选择1与2同时过河，总时间为2，然后需要1把船开回来，此时总时间为2+1=3；接着选择最慢的两个人过河，即5与10同时过河【5、10同时过河与1、10同时过河的时间相同，肯定优先选5、10同时过河】，总时间为3+10=13，再用2把船开回来，此时总时间变为13+2=15；最后一趟，1与2同时过河，过河时间为2，总时间变为15+2=17。
  

解题思路及AC代码

假设现在有k个人还没有渡河，设往返各两次为一轮，则经过一轮之后，渡河人数减少了2。通过上述分析，从策略三与策略四中选最小者，就是本题耗时最少的时间。

• 对于策略三：每次让最快者带最慢者，最快者再开船返回。
  

• 对于策略四：先让两个最快者渡河，最快的人开船返回。再让两个最慢者渡河，速