动态规划——最长公共子序列（算法设计课题）

最新推荐文章于 2022-10-31 10:06:13 发布

九日王朝

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分类专栏： ACM 文章标签： ACM 动态规划 DP

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本文介绍了一种使用动态规划求解两个序列的最长公共子序列问题的方法，并提供了完整的C语言实现代码。通过构建二维数组记录子问题的解，有效地提高了算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述：

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}

是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

解题思路：

设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。

由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXLEN 100
void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;  
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 2;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 3;
            }
        }
    }
}
void PrintLCS(int b[][MAXLEN],char *x,int i,int j)
{
    if(i==0||j==0)
    return;
    if(b[i][j]==1)
    {
        PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
        printf("%c",x[i-1]);		
    }
    else if(b[i][j]==2)
        PrintLCS(b,x,i-1,j);
    else
        PrintLCS(b,x,i,j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN];
    char y[MAXLEN];
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m,n;
    
    while(-1)
    {
    gets(x);
    gets(y);
    m=strlen(x);
    n=strlen(y);  
    LCSLength(x,y,m,n,c,b);
    PrintLCS(b,x,m,n); 
    printf("\n");
}
    return 0;
}