【HDOJ】1005,严格的证明及解法(应该是最优的)

本文介绍了一种通过检测循环来计算特定序列中第n个数的方法,使用了动态规划和循环检测技巧,适用于解决涉及序列循环性质的问题。

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         两个连续数字的组合数为7*7(考虑顺序),由于连续的两个数决定了紧接着的后两个数(以及之后所有的数),所以可以考虑一个由(x,y)到其自身的映射,其中(x<7,y<7),(虽然实际上应该循环节<=48,但是扩大范围不影响求解),循环中的数对个数必然小于49(因为如果假设没有进入循环,那么每一个数对必须与之前的任意一个数对相异,但是数对数量只有49种),之后就是搜索前49个数对中的循环节的起点和长度,后面就更简单了,根据循环起点和循环长度求出第n个数的值

#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
   int sq[101];
   sq[1]=sq[2]=1;
   int n,fn,loopb,loope;
   int A,B;
   while(cin>>A>>B>>n)
   {
       if(A==0&&B==0&&n==0)
        break;
       for(int i=3;i<=100;i++)
           sq[i]=(A*sq[i-1]+B*sq[i-2])%7;
        for(int i=1;i<=100-2;i++)
        for(int k=i+1;k<=100-1;k++)////////////////////注意这个地方的内层循环其实可以是k+2,更新部分为k+=2,,外层的更新变量改为 i+=2,由于我的解法是以数对为单位的,所以应该是这样,而运算次数与直接寻找49以内的循环体相同(虽然我没有证明以单个数字为单位的循环体为啥小于49,但是由验算证明此题可能的循环体长度《=48)
       {
           if(sq[i]==sq[k]&&sq[i+1]==sq[k+1])
           {
               loopb=i;
               loope=k;
               goto loopexit;
           }
       }
       loopexit:
       int looplength=loope-loopb;
       int num;
       if(n-loopb+1>0)
       num=(n-loopb+1)%looplength;
       else
        num=n;
       if(num==0)
       num=looplength;
       cout<<sq[loopb+num-1]<<endl;
   }
    return 0;
}

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