P1758 [NOI2009]管道取珠

最新推荐文章于 2025-06-04 15:41:26 发布

原创最新推荐文章于 2025-06-04 15:41:26 发布 · 171 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#题解 #动态规划

OI 专栏收录该内容

7 篇文章

订阅专栏

本文深入探讨了一道组合计数问题的高效解决策略，通过巧妙的四维动态规划（DP）优化和滚动数组技巧，将复杂度显著降低，实现内存与时间的有效平衡。文章详细介绍了如何利用DP的状态转移方程，结合字符串匹配条件，逐步推导出简洁的算法实现，并通过实例代码展示了完整的解决方案。

分析：

这道题的难点在于转化。对于这道题，我们要求的东西就相当于有两个人在分别取球，求取出两个序列完全一样的方案数。

这样转化，问题就变得简单多了。我们设 $f [i] [j] [k] [l]$ 为第一个人在第一个串里去了 $i$ 个，在第二个串里取了 $j$ 个，第二个人在第一个串里取了 $k$ 个，在第二个串里取了 $l$ 个，而且两个序列完全相同的方案数。

$N = 500$ ，四维DP肯定会MLE的，这时候我们发现 $i + j = k + l$ ，我们可以省去第四维。然而 $N^3$ 的空间也是承受不住的，然后我们又发现，第 $i$ 个状态只与第 $i - 1$ 个状态有关，换句话说，我们可以用滚动数组简化第一维。

然后就可以AC啦！（记得开O2，否则会Tle）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int pp = 1024523;
const int N = 505;
int n, m, f[2][N][N];
char s1[N], s2[N];

int main() {
	cin >> n >> m;
	scanf("%s", s1 + 1);
	scanf("%s", s2 + 1);
	f[0][0][0] = 1;
	for(int i = 0; i <= n; i++) {
		int cur = i & 1;
		memset(f[cur ^ 1], 0, sizeof(f[cur ^ 1]));
		for(int j = 0; j <= m; j++) {
			for(int k = 0 ; k <= i + j; k++) {
			 	int l = i + j - k;
				if(s1[i + 1] == s1[k + 1]) (f[cur ^ 1][j][k + 1] += f[cur][j][k]) %= pp;
				if(s1[i + 1] == s2[l + 1]) (f[cur ^ 1][j][k] += f[cur][j][k]) %= pp;
				if(s2[j + 1] == s1[k + 1]) (f[cur][j + 1][k + 1] += f[cur][j][k]) %= pp;
				if(s2[j + 1] == s2[l + 1]) (f[cur][j + 1][k] += f[cur][j][k]) %= pp;	
			}
		}
	}
	cout << f[n & 1][m][n] << endl;
	return 0; 
}