重新理解“复数”

转载自《线性代数及其应用导论》

复数

       由于所有实数的平方都非负，所以我们知道方程x² + 1 = 0在实数系统内无解。为了使此方程有解，我们将引入一类新的数——复数。

       早在16世纪，人们已经用符号来提供表示方程x² + 1 = 0的解的方法，这个符号后来用字母i代替，它是一个虚构的、想像出来的数字，同时除了平方是-1之外，它也像所有的实数一样参与代数运算并满足这些运算的规则。例如，二次多项式可以进行如下因式分解：

x² + 1 = x² - i² = (x - i)(x + i).

另外，我们也用x = i以及x = -i来表示方程x² + 1 = 0的解，而不管它的具体意义是什么。我们称诸如2 + 3i的表达式为复数(complex number)。一开始，人们仅仅是纯形式化的使用复数，直到300年后，才开始使用符合现代标准的方式来定义它们。

       在19世纪早期，Carl Friedrich Gause(1777-1855)和William Rowan Hamilton(1805-1865)几乎同时且相互独立地提出使用被赋予了某些特殊性质的有序实数对(a, b)来表示复数的思想。现在复数的这种表示方法已经被广泛接受。