2、控制理论中的信号、系统规范与不确定性建模

控制理论中的信号、系统规范与不确定性建模

1. 信号与系统规范

在控制理论中，为了对信号和系统进行分析与设计，需要定义合适的规范来描述信号的“大小”以及系统的“增益”。

1.1 稳定控制器与尤拉参数化定理

对于给定的系统 (G = \tilde{M}^{-1}\tilde{N} = NM^{-1})，可以证明 ((\tilde{U}, \tilde{V})) 和 ((U, V)) 是稳定且互质的。以下引理表明：
- 引理 1.2：(K := \tilde{V}^{-1}\tilde{U} = UV^{-1}) 是一个稳定控制器，即图 1.6 中的闭环系统是内部稳定的。
- 定理 1.3（尤拉参数化定理）：(G) 的所有稳定控制器的集合可以表示为 ({(\tilde{V} + Q\tilde{N})^{-1}(\tilde{U} + Q\tilde{M}) : Q \in H_{\infty}})，也可表示为 ({(U + MQ)(V + NQ)^{-1} : Q \in H_{\infty}})。

1.2 向量范数与信号范数

向量范数和信号范数用于衡量向量和信号的“大小”。
- 向量范数 ：设线性空间 (X = F^m)（(F = R) 为实数域，(F = C) 为复数域），对于向量 (x = [x_1, x_2, \cdots, x_m]^T \in X)，其 (p -) 范数定义如下：
- (1 -) 范数：(|x| 1 := \sum {i = 1}^{m}|x_i|)
- (p -) 范数：(|x| p :