17、系统变换分析相关内容解析

系统变换分析相关内容解析

1. 信号处理基础关系推导

在信号处理中，我们常常会遇到各种信号之间的关系推导。例如，$h_{o}(n)$ 和 $h_{e}(n)$ 之间存在这样的关系：$h_{o}(n) = sgn(n) \cdot h_{e}(n)$，其中符号函数 $sgn(n)$ 定义如下：
- 当 $n > 0$ 时，$sgn(n) = 1$；
- 当 $n = 0$ 时，$sgn(n) = 0$；
- 当 $n < 0$ 时，$sgn(n) = -1$。

已知 $h(n)$ 的偶部 $H_{R}(e^{j\omega})$ 的逆离散时间傅里叶变换（DTFT）为 $h_{e}(n) = \delta(n) + 0.1\delta(n - 2) + 0.1\delta(n + 2)$，那么 $h_{o}(n) = sgn(n)h_{e}(n) = 0.1\delta(n - 2) - 0.1\delta(n + 2)$。$h_{o}(n)$ 的离散时间傅里叶变换 $H_{I}(e^{j\omega}) = -0.2\sin(2\omega)$，进而可得 $H(e^{j\omega}) = H_{R}(e^{j\omega}) + jH_{I}(e^{j\omega}) = 1 + 0.2\cos2\omega - j0.2\sin(2\omega) = 1 + 0.2e^{-j2\omega}$，$h(n) = \delta(n) + 0.2\delta(n - 2)$。

2. 二阶系统增益求解

对于一个二阶系统，它有两个极点在 $z = 0.5$，一对复零点在 $z = e^{\pm j\pi/2}$。我们要从几