15、信号处理中的z变换与系统分析

信号处理中的z变换与系统分析

1. z变换相关内容

1.1 z变换基础

z变换在信号处理领域有着重要的地位。通过对序列进行z变换,可以将时域问题转换到z域进行分析,从而简化许多复杂的运算。对一个序列进行部分分式展开后,通过取逆z变换可以得到原序列。例如,对于一些差分方程的求解,常常会用到z变换。

1.2 差分方程的解

差分方程的解通常由两部分组成:
- 齐次解 :形式为 (y_h(t) = Ae^{-\alpha t}),其中 (A) 是一个常数,需要根据初始条件来确定。例如,当给定初始条件 (y(0^-) = 1) 时,就可以确定 (A) 的值。
- 特解 :是差分方程的一个特定解。

总解就是齐次解和特解的和。

1.3 补充问题

以下是一些常见的关于z变换的补充问题及解答:
|问题编号|问题描述|解答|
| ---- | ---- | ---- |
|4.44|求某序列的z变换| (Y ( z ) = \frac{1}{( 1 - z^{-1})^n}) |
|4.45|求某序列的z变换| (X ( z ) = ( 1 +…)) |
|4.46|有多少不同序列具有给定的z变换|三个|

1.4 具体序列的z变换求解

以下是一些具体序列的z变换求解问题:
1. 求 (x(n) = (-1)^n u(n)) 的z变换。
2. 求 (x(n) = \frac{1}{2}u(n - 1))

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