7、离散时间傅里叶变换（DTFT）的原理、性质与应用

离散时间傅里叶变换（DTFT）的原理、性质与应用

1. 离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义

离散时间傅里叶变换（DTFT）在离散时间信号分析中具有重要地位。对于线性时不变（LSI）系统，其频率响应可通过将单位样本响应 (h(n)) 与复指数 (e^{-jn\omega}) 相乘，并对 (n) 求和得到。序列 (x(n)) 的 DTFT 也采用相同的定义方式。即线性时不变系统的频率响应 (H(e^{j\omega})) 就是单位样本响应 (h(n)) 的 DTFT。为使序列的 DTFT 存在，其求和式必须收敛，这要求序列 (x(n)) 绝对可和。

例如，对于序列 (x_1(n)=a^n u(n))（(|a| < 1)），利用几何级数求和可得其 DTFT 为 (X_1(e^{j\omega})=\frac{1}{1 - ae^{-j\omega}})；对于序列 (x_2(n)= -a^n u(-n - 1))（(|a| > 1)），其 DTFT 为 (X_2(e^{j\omega})=\frac{1}{1 - ae^{-j\omega}})。这表明 (x_1(n)) 和 (x_2(n)) 具有相同的 DTFT。

给定 (X(e^{j\omega}))，可通过逆 DTFT 恢复序列 (x(n))。逆 DTFT 可看作是将 (x(n)) 分解为频率在 (-\pi\leq\omega\leq\pi) 范围内的所有复指数的线性组合。常见的 DTFT 对如下表所示：
| 序列 | 离散时间傅里叶变换 |
| ---- | ---- |
| (\delta(n)) | 1 |
| (\delta(n - n_0)) | (e^{-jn_0\o