7、离散时间傅里叶变换（DTFT）及其应用

离散时间傅里叶变换（DTFT）及其应用

1. 离散时间傅里叶变换（DTFT）基础

在离散时间信号处理中，离散时间傅里叶变换（DTFT）是一个核心概念。线性时不变（LSI）系统的频率响应可以通过将单位样本响应 (h(n)) 与复指数 (e^{-jn\omega}) 相乘，并对 (n) 求和得到。序列 (x(n)) 的 DTFT 也以同样的方式定义。也就是说，LSI 系统的频率响应 (H(e^{j\omega})) 就是单位样本响应 (h(n)) 的 DTFT。

为了使序列的 DTFT 存在，相关求和必须收敛，这就要求序列 (x(n)) 是绝对可和的。例如，对于序列 (x_1(n)=a^n u(n))（其中 (|a| < 1)），利用几何级数求和公式，其 DTFT 为 (X_1(e^{j\omega})=\frac{1}{1 - ae^{-j\omega}})。而对于序列 (x_2(n)= - a^n u(-n - 1))（(|a| > 1)），其 DTFT 为 (X_2(e^{j\omega})=\frac{1}{1 - ae^{-j\omega}})，这表明 (x_1(n)) 和 (x_2(n)) 具有相同的 DTFT。

给定 (X(e^{j\omega}))，可以使用逆 DTFT 来恢复序列 (x(n))。逆 DTFT 可以看作是将 (x(n)) 分解为所有频率在 (-\pi\leq\omega\leq\pi) 范围内的复指数的线性组合。表 2 - 1 列出了一些常见的 DTFT 对：
| 序列 | 离散时间傅里叶变换 |
| ---- | ---- |
| (\delta(n)) | 1 |
| (\delta(n - n_