线性代数的几何表示

几何——指向真理之乡，创造哲学之魂。

Geometry will draw the soul toward truth and create the spirit of philosophy.                                       —— 柏拉图 (Plato) | 古希腊哲学家 | 424/423 ~ 348/347 BC

引言：

在学习之前，要明确他在知识结构中处于一个什么样的位置：对于矩阵我更倾向于把他理解为一种描述数据的一种更为简洁直观的形式，凸出数据本身与数据之间的相对关系，它的名称中也没用任何晦涩的字眼，仅仅描述了它的形状，在数的角度，在代数的领域去理解它，它就可以与线性方程组结合起来，而在形的角度，在几何和抽象意义上的几何（将维度的概念拓宽为一个描述整体状态的一个方向）领域上，它就可以与向量组相结合。这是一种极具美感的数形对应与统一，我们把这种意料之外却又在情理之中的碰撞称为对偶性，希望这个性质可以在其他领域启发你的学习，构建你的知识结构

一，n维向量及其运算

1.n维向量

对欧几里得空间下的二维向量和三维向量做推广，这里的n维的“维”不应该把它想当然的理解为高维生物的“维”，而是“看问题的维度的维”，维度的概念不再局限在空间上，而是可以拓展到任何一个描述整体状态的方向上

分类：

（按分量的范围）：

实向量：分量全部在实数集上

虚向量：分量全部在虚数集上

（按分量的排列方式）：

列向量：成列排列的一组分量

行向量：成行排列的一组分量

注：数学的学习本就包含一个不断简化的过程，为了书写上的方便，我们常常把列向量写作行向量的转置

2.向量的运算

类比二维向量三维向量：

线性运算：

加法：对相对应的元素做加法，减法等同于加法

数乘（标量与向量的乘法）：对各个元素做数乘，数除等同于数乘

注：以上两种运算是线性运算，整个线性代数在向量部分的展开主要围绕这两种运算进行

内积（点积）：用矩阵来描述向量时，要考虑向量相乘的顺序问题：即行向量与列向量相乘时得到的结果是一个行向量，而一个m行列向量与一个n列行向量相乘得到的是一个m*n阶的矩阵

性质与二维三维运算基本相同

3.线性运算与非线性运算

对于线性运算和非线性运算的理解影响着整个线性代数的学习，为了你能充分的理解接下来的内容，在这里对这两个概念做解释：

线性运算 

满足线性运算性质的运算称为线性运算：

叠加性：满足