HDU4349—Lucas定理的应用

本文介绍利用Lucas定理解决组合数奇偶性问题的方法,通过二进制枚举来计算给定整数n的二进制表示中1的数量,从而得出组合数C(n,m)为奇数的个数。

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先简要介绍Lucas定理:

A、B是非负的整数,p是质素,将A写成p进制数a[n]a[n-1]....a[0],将B写成p进制数b[n]b[n-1]...b[0],C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。

本题求奇数的个数,即要判断C(n,m)的奇偶性,:

使用Lucas定理推导,我们分析一下 C(n,m)%2,那么由lucas定理,我们可以写成二进制的形式观察,比如 n=1001101,m是从000000到1001101的枚举,我们知道在该定理中
C(0,1)=0,因此如果n=1001101的0对应位置的m二进制位为1那么C(n,m) % 2==0,因此m对应n为0的位置只能填0,而1的位置填0,填1都是1(C(1,0)=C(1,1)=1),不影响结果为奇数,并且保证不会超出n的范围,因此所有的情况即是n中1位置对应m位置0,1的枚举,那么结果很明显就是:2^(n中1的个数)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int i,n,num,ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        num=0;
        while(n>0)
        {
            if(n%2==1)
            num++;
            n=n/2;
        }
        ans=1;
        for(i=0;i<num;i++)
        ans*=2;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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