先简要介绍Lucas定理:
A、B是非负的整数,p是质素,将A写成p进制数a[n]a[n-1]....a[0],将B写成p进制数b[n]b[n-1]...b[0],C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。
本题求奇数的个数,即要判断C(n,m)的奇偶性,:
使用Lucas定理推导,我们分析一下 C(n,m)%2,那么由lucas定理,我们可以写成二进制的形式观察,比如 n=1001101,m是从000000到1001101的枚举,我们知道在该定理中
C(0,1)=0,因此如果n=1001101的0对应位置的m二进制位为1那么C(n,m) % 2==0,因此m对应n为0的位置只能填0,而1的位置填0,填1都是1(C(1,0)=C(1,1)=1),不影响结果为奇数,并且保证不会超出n的范围,因此所有的情况即是n中1位置对应m位置0,1的枚举,那么结果很明显就是:2^(n中1的个数)
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
int i,n,num,ans;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
num=0;
while(n>0)
{
if(n%2==1)
num++;
n=n/2;
}
ans=1;
for(i=0;i<num;i++)
ans*=2;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}