HDU4349—Lucas定理的应用

最新推荐文章于 2018-11-05 00:29:49 发布

sky1203850702

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本文介绍利用Lucas定理解决组合数奇偶性问题的方法，通过二进制枚举来计算给定整数n的二进制表示中1的数量，从而得出组合数C(n,m)为奇数的个数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

先简要介绍Lucas定理：

A、B是非负的整数，p是质素，将A写成p进制数a[n]a[n-1]....a[0]，将B写成p进制数b[n]b[n-1]...b[0],C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*C(a[n-2],b[-2])*....*C(a[0],b[0])模p同余。

本题求奇数的个数，即要判断C(n,m)的奇偶性,：

使用Lucas定理推导，我们分析一下 C(n,m)%2,那么由lucas定理，我们可以写成二进制的形式观察，比如 n=1001101，m是从000000到1001101的枚举，我们知道在该定理中
C(0,1)=0,因此如果n=1001101的0对应位置的m二进制位为1那么C(n,m) % 2==0,因此m对应n为0的位置只能填0，而1的位置填0，填1都是1（C(1,0)=C(1,1)=1)，不影响结果为奇数，并且保证不会超出n的范围，因此所有的情况即是n中1位置对应m位置0，1的枚举，那么结果很明显就是：2^(n中1的个数)

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int i,n,num,ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        num=0;
        while(n>0)
        {
            if(n%2==1)
            num++;
            n=n/2;
        }
        ans=1;
        for(i=0;i<num;i++)
        ans*=2;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}