KMP算法讲解 +例题：PTA 7-6 字符串模式匹配（KMP）

KMP算法（Knuth-Morris-Pratt算法）是一种用于在一个字符串（文本）中查找一个子串（模式串）的高效算法。KMP算法的核心思想是利用模式串本身的特性，在匹配过程中尽可能减少不必要的比较次数。

KMP算法的关键是构建一个最长公共前后缀数组（LPS数组），这个数组告诉我们在模式串中对于每个位置，最长的相等的前缀和后缀有多长。有了这个数组，我们可以利用已经匹配过的信息来避免不必要的回溯。

下面是KMP算法的主要步骤：

1. 构建LPS数组：对于模式串P[0..j]，计算其最长相等的前缀和后缀的长度

LPS数组的构建方法：


构建模式串的LPS数要的回溯。组是KMP算法的关键步骤之一，它的作用是利用模式串自身的特性来避免在匹配过程中不必

LPS数组的值表示了模式串中对于每个位置，最长的相等的前缀和后缀的长度。这个信息可以帮助我们在匹配过程中尽可能减少不必要的比较次数。

让我用一个简单的例子来解释为什么需要构建模式串的LPS数组：

假设模式串P为："ABABCABAB"。

首先，我们需要找出模式串中每个位置的最长相等的前缀和后缀的长度。这将使我们能够在匹配过程中利用已经匹配过的信息，避免不必要的回溯。

现在让我们来看一下模式串的LPS数组是如何计算的：

对于位置0，前缀和后缀都为空，因此LPS[0] = 0。
对于位置1，前缀为"A"，后缀为"B"，没有相等的前缀和后缀，因此LPS[1] = 0。
对于位置2，前缀为"AB"，后缀为"AB"，它们相等的前缀和后缀的长度为1，因此LPS[2] = 1。
对于位置3，前缀为"ABA"，后缀为"CAB"，它们没有相等的前缀和后缀，因此LPS[3] = 0。
对于位置4，前缀为"ABAB"，后缀为"ABAB"，它们相等的前缀和后缀的长度为2，因此LPS[4] = 2。
对于位置5，前缀为"ABABC"，后缀为"ABABC"，它们没有相等的前缀和后缀，因此LPS[5] = 0。
对于位置6，前缀为"ABABCA"，后缀为"BAB"，它们相等的前缀和后缀的长度为1，因此LPS[6] = 1。
对于位置7，前缀为"ABABCAB"，后缀为"AB"，它们相等的前缀和后缀的长度为2，因此LPS[7] = 2。
对于位置8，前缀为"ABABCABA"，后缀为"B"，它们相等的前缀和后缀的长度为3，因此LPS[8] = 3。
对于位置9，整个模式串为"ABABCABAB"，它的前缀和后缀完全相等，因此LPS[9] = 4。
因此，模式串"ABABCABAB"的LPS数组为[0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4]。

通过构建LPS数组，KMP算法可以在匹配过程中利用这些信息，避免不必要的回溯，从而提高匹配的效率。

2. 匹配过程：从左到右遍历文本串T，同时遍历模式串P。当遇到不匹配的字符时，根据LPS数组将模式串向右移动，而不是直接回到模式串的起始位置。

可以这么做的原因：

在 KMP 算法中，当在文本串中匹配到一个字符与模式串中的字符不匹配时，我们需要将模式串向右移动一定的距离，以尽可能地避免重复比较已经匹配过的字符。

根据 LPS 数组可以计算出模式串需要向右移动的距离。具体来说，当在文本串中匹配到一个字符与模式串中的字符不匹配时，我们可以利用 LPS 数组找到模式串中最长的相等前缀和后缀的长度，然后将模式串向右移动这个长度的距离。

这是为什么呢？因为当模式串中的某个字符与文本串中的某个字符不匹配时，我们需要找到模式串中最长的相等前缀和后缀，将模式串向右移动这个长度，可以保证我们不会错过任何可能的匹配。因为如果这个相等前缀和后缀出现在模式串的其他位置，那么在这个位置上匹配时，它们也是相等的，因此我们可以直接跳过这些已经匹配过的字符，将模式串向右移动到这个位置。

举个例子，假设我们在文本串中匹配到了一个字符与模式串中的字符不匹配，此时我们的模式串已经匹配了前缀 "ABABCA"，但是下一个字符不匹配，我们需要将模式串向右移动一定的距离。根据 LPS 数组，我们可以知道模式串中最长的相等前缀和后缀的长度为 2，因此我们可以将模式串向右移动 5 - 2 = 3 个位置，从而跳过已经匹配过的前缀 "ABA"，将模式串移动到 "BABCABAB" 的位置，继续匹配。

下面是一个简单的例子来说明KMP算法的匹配过程：

假设文本串T为："ABABDABACDABABCABAB"，模式串P为："ABABCABAB"。

1. 首先，构建模式串的LPS数组：[0, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 5]。2. 开始匹配过程：从左到右遍历文本串T和模式串P。

   - 当T[0]和P[0]匹配时，继续比较T[1]和P[1]。

   - 当T[3]和P[3]不匹配时，根据LPS数组将模式串向右移动3位，即P[0..2]和T[3]对齐。

   - 继续比较T[3]和P[3]，发现它们匹配。

   - 重复以上步骤直到找到完全匹配或者遍历完整个文本串。

KMP算法的核心思想是，当遇到不匹配的情况时，利用已经匹配过的信息，尽可能减少回溯的次数，从而提高匹配的效率。这使得KMP算法在实际应用中具有很好的性能。

下面是我遇到的题目 

PTA  7-6 字符串模式匹配（KMP）

分数 30

作者 李廷元

单位 中国民用航空飞行学院

例题：

给定一个字符串 text 和一个模式串 pattern，求 pattern 在text 中的出现次数。text 和 pattern 中的字符均为英语大写字母或小写字母。text中不同位置出现的pattern 可重叠。

输入格式:

输入共两行，分别是字符串text 和模式串pattern。

输出格式:

输出一个整数，表示 pattern 在 text 中的出现次数。

输入样例1:

zyzyzyz
zyz

输出样例1:

3

输入样例2:

AABAACAADAABAABA
AABA

输出样例2:

3

数据范围与提示:

1≤text, pattern 的长度 ≤106， text、pattern 仅包含大小写字母。

代码长度限制

16 KB

时间限制

500 ms

内存限制

64 MB

下面是我的代码：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

void LPS(const string& pattern, int* lps)
{
    int n = pattern.length();
    int len = 0;
    lps[0] = 0;
    int i = 1;
    while (i < n) {
        if (pattern[i] == pattern[len])
        {
            len++;
            lps[i] = len;
            i++;
        }
        else
        {
            if (len != 0)
            {
                len = lps[len - 1];
            }
            else
            {
                lps[i] = 0;
                i++;
            }
        }
    }
}

int KMP(const string& text, const string& pattern)
{
    int n = text.length();
    int m = pattern.length();
    int lps[m] = {0};
    LPS(pattern, lps);
    int count = 0;
    int i = 0, j = 0;
    while (i < n)
    {
        if (text[i] == pattern[j])
        {
            i++;
            j++;
            if (j == m) {
                count++;
                j = lps[j - 1];
            }
        }
        else
        {
            if (j > 0)
            {
                j = lps[j - 1];
            } 
            else
            {
                i++;
            }
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    string text, pattern;
    cin >> text >> pattern;
    int result = KMP(text, pattern);
    cout << result << endl;
    return 0;
}