本文介绍了微分方程的数值解法，包括欧拉法、改进的欧拉法以及四阶龙格-库塔积分法。欧拉法通过直线近似求解，误差取决于步长Δt。改进的欧拉法利用两个点的斜率平均值降低误差。四阶龙格-库塔法虽更精确，但计算量和复杂度增加。
欧拉法
首先先来介绍欧拉法，如果对于一条曲线，用 Δ \Delta Δ t t t来将线段划分成许多小段，那么我们就可以近似认为每一段的斜率都是常数，且对于第 i i i段的斜率表示为
d y i d t = y i + 1 − y i Δ t \frac{dy_{i}}{dt}=\frac{y_{i+1}-y_{i}}{\Delta t} dtdyi=Δtyi+1−yi
以最为常见的一阶微分方程为例
d y d t = a 0 y + f ( t ) \frac{dy}{dt}=a_{0}y+f(t) dtdy=a0y+f(t)
我们再利用欧拉法求解的时候需要第 i i i段的斜率，因此利用上式，带入 ( t i , y i ) (t_{i},y_{i}) (ti,yi)求得 d y i d t \frac{dy_{i}}{dt} dtdyi，综合可得
y i + 1 − y i Δ t = a 0 y i + f ( t i ) \frac{y_{i+1}-y_{i}}{\Delta t}=a_{0}y_{i}+f(t_{i}) Δtyi+1−yi
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