FIR数字滤波器的设计（详细，快速入门）

FIR数字滤波器的设计

• 线性相位FIR滤波器的特点
  • 单位冲激响应：$h(n),0\le n\le N-1$
  • 系统函数：$H(z)={\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}$
  • 零极点分布：无穷远处N-1个零点，z=0处有一个N-1阶极点
• 线性相位条件
  线性相位是FIR滤波器的一个优势，因为FIR滤波器相比于IIR滤波器的阶数一般要高很多。
  $H(e^{j\omega })={\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=\pm |H(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$
  线性相位是指$\theta (\omega )$是$\omega$的线性函数。根据它们之间的线性关系，将线性相位分为两种：正比例；一次函数。
  • 第一类线性相位：$\theta (\omega )=-\tau \omega$
    若实序列$h(n)$为第一类线性相位，则${\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}={\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)\cos (\omega n)-j{\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)\sin (\omega n)=\pm |H(e^{j\omega })|\cos (\omega \tau )\pm j|H(e^{j\omega })|\sin (\omega \tau )$ 于是：$\tan (\omega \tau )=\frac{{\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)\sin (\omega n)}{{\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)\cos (\omega n)}$ $\to {\sum }_{n=0}^{N-1}h(n)\sin [(\tau -n)\omega ]=0$
    $$\text{FIR系统满足线性相位的充要条件}\{\begin{array}{l}\text{τ=2N−1}\\ h(n)=h(N-1-n)\end{array}$$ ,即h(n)为偶对称，对称中心为$\frac{N-1}{2}$ .
  • 第二类线性相位：$\theta (\omega )={\beta }_0-\tau \omega$
    同理可得，满足线性相位的冲要条件$h(n)=-h(N-1-n),\tau =\frac{N-1}{2},{\beta }_0=\pm \frac{\pi }{2}$

窗函数设计法

• 具体步骤
  性能指标$\to$低通滤波器的系统函数$\to$反变换时域无限长信号$\to$信号截断$\to$右移变因果系统。
  线性相位理想低通滤波器的频率响应为：
  $$H_d(e^{j\omega )})=\{\begin{array}{ll}{e}^{-j\omega \alpha }& -{\omega }_c\le \omega \le {\omega }_c\\ 0& -\pi \le \omega \le -{\omega }_c,{\omega }_c\le \omega \le \pi \end{array}$$
  经过离散傅里叶反变换对应的序列(非周期离散)为：
  $$h_d(n)=\frac{{\omega }_c}{\pi }\frac{\sin [{\omega }_c(n-\alpha )]}{{\omega }_c(n-\alpha )}$$
  该序列为中心点为$\alpha$的偶对称无限长非因果序列。
  现需要将其转变为偶对称有限长因果序列。取矩形窗$w(n)=R_N(n)$,则FIR滤波器的单位抽样响应：
  $$h(n)=h_d(n)=\{\begin{array}{ll}{h}_d(n)& 0\le n\le N-1\\ 0& \text{else}\end{array}$$
  根据第一类线性相位的条件，应有：$\alpha =\frac{N-1}{2}$,即：
  $$h(n)=\frac{{\omega }_c}{\pi }\frac{\sin [{\omega }_c(n-\frac{N-1}{2})]}{{\omega }_c(n-\frac{N-1}{2})},0\le n\le N-1$$
  FIR滤波器的频率响应的幅度函数为h(n)的幅度函数与w(n)幅度函数的卷积，即为$H(\omega )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{H}_d(\omega )W_R(\omega -\theta )d\theta$,变换的具体过程如下：
  可以看做$W_R(\theta )$平移$\omega$之后在$[-{\omega }_c,{\omega }_c]$内的积分(因为$H_d(\theta )$在此区间内为1).

  $\omega$	$H(\omega )$
  0	近似$W_R(\theta )$的全部面积
  ${\omega }_c$	0.5$H(0)$
  ${\omega }_c-\frac{2\pi }{N}$	最大，正肩峰
  ${\omega }_c+\frac{2\pi }{N}$	最小，负肩峰
  $>{\omega }_c+\frac{2\pi }{N}$	在零值上下波动
  $<{\omega }_c-\frac{2\pi }{N}$	在$H(0)$上下波动

  $-\frac{2\pi }{N},\frac{2\pi }{N}$为窗函数频谱主瓣的两个零点，主瓣宽度为$\frac{4\pi }{N}$。
  从图中可以看出，FIR滤波器的幅值函数在${\omega }_c\pm \frac{2\pi }{N}$出现肩峰。改变N值改变主瓣宽度，使过渡带变得更窄，但是并不能改变正肩峰与负肩峰的相对比例（相对比例由窗函数的形状决定，此为Gibbs效应）。

• 几种窗函数的对比

  窗函数	窗谱性能指标		加窗后滤波器性能指标
  	旁瓣峰值幅度/dB	主瓣宽度/(2pi/N)	过渡带宽△w/(2pi/N)	最小阻带衰减/dB
  矩形窗	-13	2	0.9	-21
  三角形窗	-25	4	2.1	-25
  汉宁窗	-31	4	3.1	-44
  海明窗	-41	4	3.3	-53
  布莱克曼窗	-57	6	5.5	-74
  凯泽窗(β=8.865)	-57		5	-80

  阻带最小衰减只由窗函数形状决定。过渡带宽与窗形状和窗宽N都有关。

• 设计步骤

技术指标包括：阻带衰减和过渡带宽。一般取${\omega }_c$为通带截止频率和阻带截止频率的平均值
从理想的频率响应函数($H_d(e^{j\omega })$)得到理想的单位抽样响应$h_d(n)$，有两种方法：

• 公式法
• IFFT法：对$H_d$进行M点IFFT变换，要求M>>N

最终得到FIR滤波器的h(n)，并求得$H(e^{j\omega })$，进行验证，若不满足，则重新选择窗函数进行设计。