快乐地打牢基础（14）——莫比乌斯反演

数论千万条，反演第一条。反演不会做，队友两行泪。

一、什么是莫比乌斯反演？

• $g(n)=\sum _{d|n}f(d)⟺f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d}).............(1)$
• $g(n)=\sum _{n|d}f(d)⟺f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)..............(2)$

很多时候函数$f$很难求，但是函数$g$可以比较容易的求出来，所有我们通过求出$g$来求出$f$,这个由$g$求出$f$的过程就是反演。

二、前置知识

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1.莫比乌斯函数

$$\mu (n)=\{\begin{array}{l}1,n=1\\ (-1{)}^k,n=P_1{P}_2...P_k\\ 0,other\end{array}$$
其中$P_1{P}_2...P_k$为质数。

莫比乌斯函数推导

线性筛求莫比乌斯函数：

int prime_tot = 0;
bool prime_tag[N];
int prime[N],mu[N];

void get_prime(){
   
   
    mu[1] = 1;//n = 1时，莫比乌斯函数mu[1] = 1,
    for(int i = 2; i < N; i++){
   
   
        if(!prime_tag[i]) prime[prime_tot++] = i,mu[i] = -1;//如果i是一个质数，那么其莫比乌斯函数一定是-1
        for(int j = 0; j < prime_tot && i * prime[j] < N; j++){
   
   
            prime_tag[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
   
   
                mu[i * prime[j]] = 0;//可以知道此处prime[j] | i，
                					//那么i * prime[j]里就有一个prime[j]的平方存在
                break;
            }else
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];//i * prime[j]为k个质数的乘积，如果k是奇数mu[i]就是-1，
                						//是偶数mu[i]为1
        }
    }
}

2.狄利克雷卷积

狄利克雷卷积是一个对函数的运算。

狄利克雷卷积：
对于两个函数$f,g$,它们的狄利克雷卷积是

$(f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$

积性函数：
两个数$a,b$互质,对于函数$f$,如果$f(ab)=f(a)f(b)$,那么函数$f$就是一个积性函数。

完全积性函数：
任意两个数$a,b$,都有$f(ab)=f(a)f(b)$。

常见的积性函数

• 欧拉函数$\phi (n)$
• 莫比乌斯函数$\mu (n)$
• 单位函数 $Id(n)=n$
• 不变函数$1(n)=1$，不变的函数，所有值都是$1$
• 幂函数$idk(k)=n^k$
• 因子个数函数$d(n),d=1(n)\ast 1(n)$，n的正因子数目
• 因子和函数$\sigma (n),\sigma =1(n)\ast Id，n$的所有正因子之和
• 因子函数$\sigma k(n)$，n的所有正因子的k次幂之和
• 狄利克雷卷积单位元$\epsilon =[n==1]$
• 逆元:对于每一个$f(1)=/0$的函数$f$，都有$f\ast g=\epsilon$

如何求一个函数的逆元：
首先我们定义两个函数$f,g$：
$$g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i})\right)$$
这样的话,他们的狄利克雷卷积 $f\ast g$ 就是：
$$\begin{gathered} \sum _{i|n}f(i)g(\frac{n}{i}) \\ =f(1)g(n)+\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i}) \\ =f(1)\ast \frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i})\right)+\sum _{i|n,i\ne 1}f(i)g(\frac{n}{i}) \\ =[n==1] \end{gathered}$$
此处证明推导均来自：铃悬dalao的博客

一些关于莫比乌斯函数和狄利克雷卷积单位元的性质

1.不变常数 $1$ 和莫比乌斯函数 $\mu$ 互为逆元。

用上述求逆元的方法直接套，令$g(n)=1(n),f(n)=\mu (n)$。

2.两个积性函数的狄利克雷卷积是积性函数。

3.积性函数的逆是积性函数。

2和3具体详细的证明还是参考铃悬dalao的博客https://www.luogu.org/blog/lx-2003/mobius-inversion

3.整除分块

看一个题目：求$\sum _{k=1}^n\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$的值。
可能会想到暴力，直接遍历一遍，但当$n$很大的时候，时间是使dalao们不满意的。
所以有了整除分块的想法。
拿 $n=25$ 来举例：
首先可以发现， $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 只有$2\sqrt{n}$种，那我们按照 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 的结果分类的：

int ans = 0;
for(int l = 1　,　r; l <= n; l = r + 1){
   
   
	r = n / (n / l);
	ans += (r - l + 1)(n / l);
}

这样一来，整除通过这种分块的思想就把时间复杂度降到了$O(2\sqrt{n})$。

三、莫比乌斯反演的证明

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• $g(n)=\sum _{d|n}f(d)⟺f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d}).............(1)$
• $g(n)=\sum _{n|d}f(d)⟺f(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)..............(2)$

首先证明$(1)$，这很好证明($1$代表不变函数)：
$$g=f\ast 1,f=\mu \ast g=\mu \ast 1\ast f=f$$
然后证明$(2)$：
令$k=\frac{d}{n}$，则：
$$\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)=\sum _k\mu (k)g(nk)=\sum _k\mu (k)(nk)|t$$