Catalan number（POJ：2084）

Description

• 卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

原理

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)*h(0) (n>=2)
例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

应用

• 括号化：
  矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
• 出栈次序
  一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
• 凸多边形三角划分
  在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。
• 给定节点组成二叉搜索树
  给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？
• n对括号正确匹配数目
  给定n对括号，求括号正确配对的字符串数
• 类似问题
  1.一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
  2.在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

Java实现

package catalan;

import java.util.*; 
import java.math.BigInteger;


public class catalan{  

    //求卡特兰数
    public static void main(String[] args){ 

        int numberOfCatalan = 101; //要求多少个卡特兰数
        BigInteger[] digis = new BigInteger[numberOfCatalan+1];    //大数数组：存储对应的卡特兰数
        BigInteger x=new BigInteger("1"); //第一个卡特兰数为1
        digis[0]=x;
        digis[1]=x;  
        int y=0;
        int z=0;  
        for(int counter=2; counter<=numberOfCatalan; ++counter){
            y=4*counter-2;  
            z=counter + 1;  
            digis[counter]=digis[counter-1].multiply(new BigInteger("" + y));  
            digis[counter]=digis[counter].divide(new BigInteger("" + z));  
        }  
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);   //输入所求的卡特兰数h(n)
        int number;   
        while(true) {  
            number = scanner.nextInt();  
            if(number == -1)  
                break;
            String answer = digis[number].toString();  //按字符串输出
            System.out.println(answer);  
        }  
    }  
} 

C++实现

void catalan() //求卡特兰数
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}