动态规划--美丽的项链

一、01背包问题

题目：假设你是一个小偷，背着一个可以装4磅的背包。你可以盗窃的商品有如下3件，其中每件商品只能选择依次：

商品名称	商品价值（美元）	商品重量（磅）
音响	3000	4
笔记本电脑	2000	3
吉他	1500	1

解题思路：
　　这是一个很典型的动态规划的例子，每个动态规划的算法都从一个网格开始。根据题意可以建立如下网格。
　　
　　　　　　　　　　　　各列为不同的容量（１－４）的背包，各行为可选择的商品

	1	2	3	4
吉他	1500	1500	1500	1500
音响	1500	1500	1500	3000
笔记本电脑	1500	1500	2000	3500

其中网格填写步骤如下所示：
１）数组设定。设网格为一个二维数组DP[商品种类数][背包容量]。其中DP[i][j]代表前　i　种商品放入容量为　j　背包的最大价值。
２）初始化第一行。即DP[0][0]到DP[0][3]。此时，我们只能选择吉他。那么当背包容量为1到4时，只有一种选择方案，就是吉他。所以第一行所有价值都是吉他的价值1500美元，占用容量1磅。
3）计算后面几行。
DP[i][j] = max(A,B)
A = DP[i-1][j] ;B = 当前商品的价值+剩余空间的价值=当前商品的价值+DP[i-1][j-当前商品的重量]

二、美丽的项链

解题思路：
使用二维数组进行求解。设dp[i][j]代表前i+1种珠宝凑成j颗珠宝的项链。

	0	1	2	3	4	5
第0种宝石	1	1	1	1	0	0
第1种宝石	1	2	3	4	3	2
第2种宝石	1	3	6	10	12	12

如果已知前i种宝石凑成0-j颗珠宝的项链，那么就在此基础上，加上第i+1种珠宝凑成j颗珠宝项链。每种宝石都有最低使用值和最高使用值。此时可以推出一个公式
　　　　　　　　　　　　　　　　dp[i][j] = dp[i-1][j-ri]+ dp[i-1][j-ri+1]+ …+dp[i-1][j-li]
如：第一种宝石行，dp[1][3]=df[0][3-0]+dp[0][3-1]]+dp[0][3-2]+dp[0][3-3]=4。即可以表示为，
已知第0种宝石，凑成3颗宝石的方法数，此时第1种宝石不添加，凑成3颗宝石的方法数。
已知第0种宝石，凑成2颗宝石的方法数，此时第1种宝石添加1颗，凑成3颗宝石的方法数。
已知第0种宝石，凑成1颗宝石的方法数，此时第1种宝石添加2颗，凑成3颗宝石的方法数。
已知第0种宝石，凑成0颗宝石的方法数，此时第1种宝石添加3颗，凑成3颗宝石的方法数。
将上面四项相加，即得到dp[1][3]。同理，其他的依照上诉告时进行确定。需要注意的是，添加的宝石有最小和最大的限制。

代码（python3):

#coding:utf-8
n,m = map(int,input().split())
L=[]
R=[]
for i in range(n):
    li,ri = map(int,input().split())
    L.append(li)
    R.append(ri)

dp = [[0 for i in range(m+1)] for j in range(n)]

#初始化第一行
for i in range(L[0],R[0]+1):
    dp[0][i] = 1

#剩余其他行使用公式进行计算
for i in range(1,n):
    for j in range(m+1):
        left = max(0,j-R[i])
        right = max(0,j-L[i])
        for l in range(left,right+1):
            dp[i][j] += dp[i-1][l]
print(dp)
print(dp[n-1][m])