霍夫圆变换

霍夫圆变换的基本思路是认为图像上每一个非零像素点都有可能是一个潜在的圆上的一点，跟霍夫线变换一样，也是通过投票，生成累积坐标平面，设置一个累积权重来定位圆。

在笛卡尔坐标系中圆的方程为：

其中（a,b）是圆心，r是半径，也可以表述为：

即

所以在abr组成的三维坐标系中，一个点可以唯一确定一个圆。

而在笛卡尔的xy坐标系中经过某一点的所有圆映射到abr坐标系中就是一条三维的曲线：

经过xy坐标系中所有的非零像素点的所有圆就构成了abr坐标系中很多条三维的曲线。

在xy坐标系中同一个圆上的所有点的圆方程是一样的，它们映射到abr坐标系中的是同一个点，所以在abr坐标系中该点就应该有圆的总像素N0个曲线相交。通过判断abr中每一点的相交（累积）数量，大于一定阈值的点就认为是圆。

以上是标准霍夫圆变换实现算法，问题是它的累加面试一个三维的空间，意味着比霍夫线变换需要更多的计算消耗。Opencv霍夫圆变换对标准霍夫圆变换做了运算上的优化。它采用的是“霍夫梯度法”。它的检测思路是去遍历累加所有非零点对应的圆心，对圆心进行考量。如何定位圆心呢？圆心一定是在圆上的每个点的模向量上，即在垂直于该点并且经过该点的切线的垂直线上，这些圆上的模向量的交点就是圆心。

霍夫梯度法就是要去查找这些圆心，根据该“圆心”上模向量相交数量的多少，根据阈值进行最终的判断。

OpenCV使用霍夫梯度算法检测图像中的圆。

算法步骤如下

寻找圆心

1. 用Canny算法进行边缘检测，得到边界二值图
2. 用Sobel算子计算原图的梯度
3. 遍历边缘二值图中的非0点，沿着梯度方向和反方向画线段（梯度方向为圆弧的法线方向，即半径方向），线段的起点和长度由参数允许的半径区间决定。将线段经过的点在累加器中记数
4. 对累计器中的点从大到小排序，记数越大越有可能成为圆心，优先估计半径

对某个可能的圆心作半径估计

1. 计算所有边界图中的非0点离圆心的距离，并从小到大排序
2. 从小半径r开始，距离相差在一个小量范围内的点，都认为是同一个圆，记数属于该半径r的非0点数，记为n
3. 尝试放大半径，同样记数改半径的点数
4. 判断两个半径孰优孰劣的依据——点的线密度（点数n/半径r)，密度越高，半径的可信度越大
5. 重复以上步骤，直至半径超过参数允许的范围，从而得到最优半径