PCA 降维算法详解

1. 前言 

PCA ： principal component analysis ( 主成分分析)

2. PCA的应用范围

PCA的应用范围有：

1. 数据压缩

1.1 数据压缩或者数据降维首先能够减少内存或者硬盘的使用， 如果内存不足或者计算的时候出现内存溢出等问题， 就需要使用PCA获取低维度的样本特征。

1.2 其次， 数据降维能够加快机器学习的速度。 

2. 数据可视化

在很多情况下， 可能我们需要查看样本特征， 但是高维度的特征根本无法观察， 这个时候我们可以将样本的特征降维到2D或者3D， 也就是将样本的特征维数降到2个特征或者3个特征， 这样我们就可以采用可视化观察数据。

3. PCA原理简介

3.1 基础入门

这里我只给出在需要使用PCA的时候需要了解的最基本的PCA的原理， 了解这些原理后对于正常的使用没有问题， 如果想要深入了解PCA， 需要学习一些矩阵分析的知识， 更加详细的PCA算法请见wikipedia。

首先， 我们定义样本和特征， 假定有 m 个样本， 每个样本有 n 个特征， 可以如下表示：

由简到难， 先看一下从2D 降维到1D的比较直观的表示：

在上图中， 假设只有两个特征x1, x2, 然后需要降维到1D， 这个时候我们可以观察途中X所表示的样本点基本上分布在一条直线上， 那么就可以将所有的用(x1, x2)平面表示的坐标映射到图像画出的直线z上， 上图中的黑色铅笔线表示样本点映射的过程。 

映射到直线Z后， 如果只用直线Z表示样本的空间分布， 就可以用1个坐标表示每个样本了， 这样就将2D的特征降维到1D的特征。 同样的道理， 如果将3D的特征降维到2D， 就是将具有3D特征的样本从一个三维空间中映射到二维空间。

在上图中， 将所有的二维特征的样本点映射到了一维直线上，  这样， 从上图中可以看出在映射的过程中存在映射误差。

在上图中， 用圆圈表示了样本映射后的坐标位置。这些位置可以叫做近似位置， 以后还要用到这些位置计算映射误差。

 因为在降维映射的过程中， 存在映射误差， 所有在对高维特征降维之前， 需要做特征归一化（feature normalization）, 这个归一化操作包括： （1） feature scaling (让所有的特征拥有相似的尺度， 要不然一个特征特别小， 一个特征特别大会影响降维的效果) （2） zero mean normalization (零均值归一化)。 

在上图中， 也可以把降维的过程看作找到一个或者多个向量u1, u2, ...., un， 使得这些向量构成一个新的向量空间（需要学习矩阵分析哦）， 然后把需要降维的样本映射到这个新的样本空间上。

对于2D -> 1D 的降维过程， 可以理解为找到一个向量u1,  u1表示了一个方向， 然后将所有的样本映射到这个方向上， 其实， 一个向量也可以表示一个样本空间。

对于3D -> 2D 的降维过程， 可以理解为找到两个向量u1, u2, (u1, u2) 这两个向量定义了一个新的特征空间， 然后将原样本空间的样本映射到新的样本空间。

对于n-D -> k-D 的降维过程， 可以理解为找到 k 个向量 u1, u2, ..., uk, 这k个向量定义了新的向量空间， 然后进行样本映射。

3.2  Cost Function

既然样本映射存在误差， 就需要计算每次映射的误差大小。 采用以下公式计算误差大小：

X-approx表示的是样本映射以后的新的坐标， 这个坐标如果位置如果用当前的样本空间表示， 维度和 样本X是一致的。

要特别注意， PCA降维和linear regression是不一样的， 虽然看上去很一致， 但是linear regression的cost function的计算是样本上线垂直的到拟合线的距离， 而PCA的cost function 是样本点到拟合线的垂直距离。 差别如下图所示：

3.3 PCA 计算过程

（A） Feature Normalization

首先要对训练样本的特征进行归一化， 特别强调的是， 归一化操作只能在训练样本中进行， 不能才CV集合或者测试集合中进行， 也就是说归一化操作计算的各个参数只能由训练样本得到， 然后测试样本根据这里得到的参数进行归一化， 而不能直接和训练样本放在一起进行归一化。 

另外， 在训练PCA降维矩阵的过程中，也不能使用CV样本或者测试样本， 这样做是不对的。 有很多人在使用PCA训练降维矩阵的时候， 直接使用所有的样本进行训练， 这样实际上相当于作弊的， 这样的话降维矩阵是在包含训练样本和测试样本以及CV样本的情况下训练得到的， 在进行测试的时候， 测试样本会存在很大的优越性， 因为它已经知道了要降维到的空间情况。

注意： 这里的X是一个m * n 的矩阵， 有 m 个样本， 每个样本包含 n 个特征， 每一行表示一个样本。 X_norm是最终得到的特征， 首先计算了所有训练样本每个特征的均值， 然后减去均值， 然后除以标准差。 

（B） 计算降维矩阵

B1. 首先计算样本特征的协方差矩阵

如下图所示， 如果是每个样本单独计算， 则采用图中横线上的公式， 如果是采用矩阵化的计算， 则采用横线下的公式。

B2. 计算协方差矩阵的特征值和特征向量

采用奇异值分解的算法计算协方差矩阵的特征值和特征向量，  奇异值分解是个比较复杂的概念， 如果有兴趣可以查看wikipedia， 也可以直接使用matlab或者octave已经提供的奇异值分解的接口。

在上图中， U 则是计算得到的协方差矩阵的所有特征向量， 每一列都是一个特征向量， 并且特征向量是根据特征大小由大到小进行排序的， U 的维度为 n * n 。 U 也被称为降维矩阵。 利用U 可以将样本进行降维。 默认的U 是包含协方差矩阵的所有特征向量， 如果想要将样本降维到 k 维， 那么就可以选取 U 的前 k 列， Uk 则可以用来对样本降维到  k 维。 这样 Uk 的维度为 n * k

（C） 降维计算

获得降维矩阵后， 即可通过降维矩阵将样本映射到低维空间上。 降维公式如下图所示：

如果是对于矩阵X 进行降维， X 是 m * n的， 那么降维后就变为 m * k 的维度， 每一行表示一个样本的特征。

3.4  贡献率 （降维的k的值的选择）

在  http://blog.youkuaiyun.com/watkinsong/article/details/8234766 这篇文章中， 很多人问了关于贡献率的问题， 这就是相当于选择k的值的大小。 也就是选择降维矩阵 U 中的特征向量的个数。 

k 越大， 也就是使用的U 中的特征向量越多， 那么导致的降维误差越小， 也就是更多的保留的原来的特征的特性。 反之亦然。

从信息论的角度来看， 如果选择的 k 越大， 也就是系统的熵越大， 那么就可以认为保留的原来样本特征的不确定性也就越大， 就更加接近真实的样本数据。 如果 k 比较小， 那么系统的熵较小， 保留的原来的样本特征的不确定性就越少， 导致降维后的数据不够真实。 （完全是我个人的观点）

关于 k 的选择， 可以参考如下公式： 

上面这个公式 要求 <= 0.01， 也就是说保留了系统的99%的不确定性。 

需要计算的就是， 找到一个最小的 k 使得上面的公式成立， 但是如果计算上面公式， 计算量太大， 并且对于每一个  k  取值都需要重新计算降维矩阵。 

可以采用下面的公式计算 k 的取值， 因为在 对协方差矩阵进行奇异值分解的时候返回了 S , S 为协方差矩阵的特征值， 并且 S 是对角矩阵， 维度为  n * n， 计算 k 的取值如下：

3.5  重构 （reconstruction， 根据降维后数据重构原数据）， 数据还原

获得降维后的数据， 可以根据降维后的数据还原原始数据。

还原原始数据的过程也就是获得样本点映射以后在原空间中的估计位置的过程， 即计算 X-approx的过程。

使用降维用的降维矩阵 Uk， 然后将 降维后的样本 z 还原回原始特征， 就可以用上图所示的公式。