n个筛子的点数

题目：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。

分析：玩过麻将的都知道，骰子一共6个面，每个面上都有一个点数，对应的数字是1到 6之间的一个数字。所以，n个骰子的点数和的最小值为n，最大值为6n。因此，一个直观的思路就是定义一个长度为6n-n的数组，和为S的点数出现的次数保存到数组第S-n个元素里。另外，我们还知道n个骰子的所有点数的排列数6^n。一旦我们统计出每一点数出现的次数之后，因此只要把每一点数出现的次数除以6^n，就得到了对应的概率。

方法一：

该思路的关键就是统计每一点数出现的次数。要求出n个骰子的点数和，我们可以先把n个骰子分为两堆：第一堆只有一个，另一个有n-1个。单独的那一个有可能出现从1到6的点数。我们需要计算从1到6的每一种点数和剩下的n-1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子还是分成两堆，第一堆只有一个，第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数相加，再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里，我们不难发现，这是一种递归的思路。递归结束的条件就是最后只剩下一个骰子了。

 

==========================  以上文字引用自原文（剑指offer） ============================

 

思路一明晰了，代码应该不难写，同样引用原文的代码：

#define max_value 6
void printp1(int n)
{
	if(n<1) return ;
	int maxSum=n*max_value;
	int *p=new int[maxSum-n+1];
	for(int i=n;i<=maxSum;i++)
		p[i-n]=0;//初始化
	pro(n,p);
	double total=pow((double)max_value,n);
	for(int i=n;i<=maxSum;i++)
	{
		double ratio=(double)p[i-n]/total;
		cout<<i<<": "<<ratio<<endl;
	}
	delete [] p;

}
void pro(int n,int* p)
{
	for(int i=1;i<=max_value;i++)
		depart_p(n,n,i,p);
}
void depart_p(int orig,int cur,int sum,int *p)//orig就是开始加点之前的点数，cur就是本次进行分堆分出来的筛子个数。sum就是总的点数和
{
	if(cur==1)
	{
		p[sum-orig]++;//当我们分出一个筛子的时候，就可以进行加点了，因为p下标0就代表的是筛子点数为n的出现的次数，所以减去orig=n。
	}
	else
	{
		for(int i=1;i<=max_value;i++)
		{
			depart_p(orig,cur-1,i+sum,p);//分堆，并且此次分堆要加的点数为i
		}
	}
}

方法二：

动态规划就是分阶段考虑问题，给出变量，找出相邻阶段间的关系。具体定义给忘了。

1.现在变量有：骰子个数，点数和。当有k个骰子，点数和为n时，出现次数记为f(k,n)。那与k-1个骰子阶段之间的关系是怎样的？

2.当我有k-1个骰子时，再增加一个骰子，这个骰子的点数只可能为1、2、3、4、5或6。那k个骰子得到点数和为n的情况有：

(k-1,n-1)：第k个骰子投了点数1

(k-1,n-2)：第k个骰子投了点数2

(k-1,n-3)：第k个骰子投了点数3

....

(k-1,n-6)：第k个骰子投了点数6

在k-1个骰子的基础上，再增加一个骰子出现点数和为n的结果只有这6种情况！

所以：f(k,n)=f(k-1,n-1)+f(k-1,n-2)+f(k-1,n-3)+f(k-1,n-4)+f(k-1,n-5)+f(k-1,n-6)

3.有1个骰子，f(1,1)=f(1,2)=f(1,3)=f(1,4)=f(1,5)=f(1,6)=1。

代码如下：

void printp(int n)
{
	if(n<1) return;
	int *ppro[2];
	ppro[0]=new int[n*max_value+1];
	ppro[1]=new int[n*max_value+1];
	for(int i=0;i<n*max_value+1;i++)
	{
		ppro[0][i]=0;
	    ppro[1][i]=0;
	}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=max_value;i++)//筛子数为1的情况猪，i代表的是筛子点数和
		ppro[flag][i]=1;
	for(int k=2;k<=n;k++)//筛子总数为k的情况
	{
		for(int i=0;i<k;i++)//i代表筛子点数和，点数小与筛子总数情况不存在
		ppro[1-flag][i]=0;
		for(int i=k;i<=max_value*k;i++)//筛子点数由k开始直到max_value*k
		{
			ppro[1-flag][i]=0;//初始化
			for(int j=1;j<=i&&j<=max_value;j++)//（i-j）就是之前上一次计算的各种结果
				ppro[1-flag][i]+=ppro[flag][i-j];
		}
		flag=1-flag;
	}
	double total=pow((double)max_value,n);
	for(int i=n;i<=max_value*n;i++)
	{
		double ratio=(double)ppro[flag][i]/total;
		cout<<i<<": "<<ratio<<endl;
	}
	delete[] ppro[0];
	delete[] ppro[1];
}