功课数学分析(一) 第一讲

本文详细阐述了实数与实数集的基本概念,包括实数与数轴的关系、区间类型、邻域定义、有界集与上下确界的判断方法。同时介绍了函数的概念,包括自变量、函数关系和因变量,并列举了常见函数类型如数列、基本初等函数及初等函数。此外,文章还讨论了极限问题和数列极限的概念。

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函数

实数与实数集:

 

1、实数与数轴: 

有序性、 完备性

任意两个实数中间还是实数

 

2、实数集

区间: 开区间、 闭区间、 半开半闭区间

邻域: 称开区间(x-p,x+p)为x点的p邻域。

去心邻域:(x-p,x)u(x,x+p)

 

有界集与上下确界
 

有界集: 设D是一个数集,如果存在一个实数a(或b),使任意的数x属于D,有a<=x(或者x<=b),则称数集D有下(上)届,而a(或b)为D的下(上)界。


若D既有上界又有下界,称D为有界集  =》存在M>0, 使得 对于任意x属于D,满足|x|<=M


公理: 设数集D有上界,则必有一个最小的上界,称之为上确界。记为

,有 且 ,


推论: 设数集D有下界,则必有一个最大的下界,称之为下确界。记为

 

函数

概念都有唯一的变量与y相对应。

三个要素:自变量 函数关系 因变量

常见函数:

1、  数列(整标函数):

2、  基本初等函数: 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

3、  初等函数:基本初等函数经过有限多次复合与四则运算得到的函数

复合函数举例:

 

极限

问题:1+2^2+3^2+4^2+5^2……+(n-1)^2=?

数列极限的概念

(只能用来判断是否是极限,不能求极限)

利用极限定义的证明题

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