「SCOI2007」蜥蜴 - 最大流

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#网络流 #最大流 #dinic

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探讨在一个网格地图中，蜥蜴如何利用最大流算法从不稳定石柱上逃脱的问题。通过将蜥蜴和石柱建模为图论中的节点，解决蜥蜴逃脱路径规划，以最小化无法逃脱的蜥蜴数量。

题目描述

在一个 $r$ 行 $c$ 列的网格地图中有一些高度不同的石柱，一些石柱上站着一些蜥蜴，你的任务是让尽量多的蜥蜴逃到边界外。

每行每列中相邻石柱的距离为 $1$ ，蜥蜴的跳跃距离是 $d$ ，即蜥蜴可以跳到平面距离不超过 $d$ 的任何一个石柱上。石柱都不稳定，每次当蜥蜴跳跃时，所离开的石柱高度减 $1$ （如果仍然落在地图内部，则到达的石柱高度不变），如果该石柱原来高度为 $1$ ，则蜥蜴离开后消失，以后其他蜥蜴不能落脚。任何时刻不能有两只蜥蜴在同一个石柱上。

输入格式

输入第一行为三个整数 $r, c, d$ ，即地图的规模与最大跳跃距离。以下 $r$ 行为石柱的初始状态， $0$ 表示没有石柱， $1$ ~ $3$ 表示石柱的初始高度。以下 $r$ 行为蜥蜴位置，L表示蜥蜴，.表示没有蜥蜴。

输出格式

输出仅一行，包含一个整数，即无法逃离的蜥蜴总数的最小值。

数据范围

$100%100\%$ 的数据满足： $1≤r,c≤20,1≤d≤4.1\le r,c\le20, 1\le d\le4.$

分析

无法逃离的蜥蜴总数最小值即为蜥蜴总数减去逃离的蜥蜴数量最大值，容易联想到最大流。如何建边？对于每个可以到达的点，容易想到将其拆开，拆成入点和出点，这样连边就容易多了。

源点 $S$ 向蜥蜴所在点的入点连边，容量为 $1$ ;
每个入点向对应的出点连边，容量为该石柱的高度;
每两个可以到达的点，对应入点向出点连边，容量为 $+∞+\infty$ ;
每个可以跳出去的点向汇点 $T$ 连边，容量为 $+∞+\infty$ ;

这样跑一边从 $S$ 到 $T$ 的最大流， $a n s =$ 蜥蜴总数 $- m a x f l o w (S, T)$ .

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=2005,M=200005;
const int INF=0x7ffffff;
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
struct Dinic {//dinic模板 
	struct Edge {
		int to,nxt,flw;
	}e[M<<1];
	int s,t;
	int h[N],cnt;
	void Add_Edge(int x,int y,int z) {
		e[++cnt]=(Edge){y,h[x],z};h[x]=cnt;
		e[++cnt]=(Edge){x,h[y],0};h[y]=cnt;
	}
	void Init(int s,int t) {
		this->s=s;
		this->t=t;
		cnt=1;
	}
	int dep[N];
	int q[N],he,tl;
	bool Bfs() {
		memset(dep,0,sizeof(dep));
		he=1,tl=0;
		q[++tl]=s;
		dep[s]=1;
		while (he<=tl) {
			int x=q[he++];
			for (int i=h[x];i;i=e[i].nxt) {
				int y=e[i].to;
				if (dep[y]||!e[i].flw) continue;
				dep[y]=dep[x]+1;
				if (y==t) return 1;
				q[++tl]=y;
			}
		}
		return 0;
	}
	int Dfs(int x,int fl) {
		if (x==t) return fl;
		int res=0;
		for (int i=h[x];i&&fl;i=e[i].nxt) {
			int y=e[i].to;
			if (dep[y]!=dep[x]+1||!e[i].flw) continue;
			int k=Dfs(y,min(e[i].flw,fl));
			fl-=k;
			e[i].flw-=k;
			e[i^1].flw+=k;
			res+=k;
		}
		return res;
	}
	int maxflow() {
		int ans=0,d;
		while (Bfs())
			while ((d=Dfs(s,INF))) ans+=d;
		return ans;
	}
}dinic;
int n,m,d,tot;
int ns,nt,ntot;
int mp[25][25];
int num[25][25];
int main() {
	dinic.Init(0,2000);
	ns=0,nt=2000;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		char s[25];
		scanf("%s",s+1);
		for (int j=1;j<=m;j++) {
			mp[i][j]=s[j]-'0';
			if (mp[i][j]) num[i][j]=++tot;
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) {//连边 
		for (int j=1;j<=m;j++) {
			if (!num[i][j]) continue;
			for (int k=-d;k<=d;k++) {
				int bk=abs(k);
				int flag=0;
				for (int l=bk-d;l<=d-bk;l++) {
					int tx=i+k,ty=j+l;
					if (!k&&!l) continue;
					if (tx<1||tx>n||ty<1||ty>m) {
						if (!flag) {
							flag=1;
							dinic.Add_Edge(num[i][j]+tot,nt,INF);
						}
						continue;
					}
					if (!num[tx][ty]) continue;
					dinic.Add_Edge(num[i][j]+tot,num[tx][ty],INF);
				}
			}
			dinic.Add_Edge(num[i][j],num[i][j]+tot,mp[i][j]);
		}
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		char s[25];
		scanf("%s",s+1);
		for (int j=1;j<=m;j++) {
			if (s[j]=='L') {
				dinic.Add_Edge(ns,num[i][j],1);
				ntot++;
			}
		}
	}
	printf("%d",ntot-dinic.maxflow());
	return 0;
}