Lecture 009-2-Branch-and-Cut

Outline

•Fundamental understanding

•Valid inequality and B&C

•Chvatal-Gomory cut & Covering constraint cut

•Cutting plane theory

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•分支定界B&B框架中每个节点都需要求解对应问题的松弛问题(Relaxation)

•松弛问题的界越有效越能帮助我们快速求解对应的离散优化问题

•增加或加强整数规划模型的约束条件有时可以大幅加强其线性松弛问题的界。

•而以求解一个尽可能有效的松弛问题作为解决离散问题的开端，往往是非常有价值的。

•“加强”的case，大M的应用；•“增加”的case，割方法的起点。•通过增加新约束，分支定界搜索能得到怎样更好的结果，以及•怎么去寻找新的约束

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•割平面方法的基本思想是对于一个优化问题而言，通过不断添加约束条件来切割可行域，最终将可行域不断变小，相当于搜索空间变小。

•在LP中讲过，一个等式约束就等价于一个超平面，一个不等式约束就代表一个半空间，从这个意义上讲，增加一个约束就相当于增加一个割平面。比如原来IP问题的可行域是X，对应的线形松弛问题的可行域是P，P肯定是比X大的一个空间。割平面法的目的是通过添加很多割平面，把P进行切割到最后恰好等于conv(X),也就是X的凸包。这是解LP就可以得到原来IP问题的解了。

•对于IP问题而言，B&B有很多提高分枝定界效率的技巧，同样cuttingplane也有很多增加效率的技巧，比如如何添加有效的割平面，从而提高算法的收敛速度。