03 | 复杂性分析

一、如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗

时间、空间复杂度分析——来衡量算法代码的执行效率。
为什么需要复杂度分析？
事后统计法(把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小)有非常大的局限性：
1、测试结果非常依赖测试环境
不同的处理器运行一样的代码，比如同一段代码i9处理器肯定比i3处理器执行速度快；但是不一样的代码在不同的机器运行结果可能截然不同，比如原本在一台机器上a代码比b代码运行速度快，但是换到另外一台机器上，结果可能就相反了。
2、测试结果受数据规模的影响大
对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下，如果数据已经是有序的，那排序算法不需要做任何操作，执行时间就会非常短。除此之外，如果测试数据规模太小，测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如，对于小规模的数据排序，插入排序可能反倒会比快速排序要快！
所以，需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。

大O复杂度表示法
下面的代码，求1、2、3…n的累加和。估算一下代码的执行时间。

 int cal(int n) {
   
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
   
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2n*unit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

以同样的思路再来分析下面的代码

 int cal(int n) {
   
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
   
     j = 1;
     for