343. Integer Break

原创于 2019-01-13 21:12:21 发布 · 129 阅读

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#DP

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探讨将正整数拆分成至少两个正整数之和，并最大化这些整数乘积的问题。通过分析数学规律，提出O(n)的高效算法解决方案，避免了传统DP方法的高时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

分析：

这道题标注在DP下但是貌似用简单的DP时间复杂度太高了。。O(n2)

D[i] = max(i, max(D[a],a)*max(D[b],b)) （其中a+b=i）

看了题目的提示应该有O(n)的解法，所以需要利用一点数学规律（分结成2/3，且越多3越好），证明就不说了，转移公式改为：

dp[i] = max(2 * dp[i - 2], 3 * dp[i - 3])

public static int integerBreak2(int n) {
    if(n <= 3) return n - 1;
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    dp[3] = 3;
    for(int i = 4; i <= n; ++i)
    {
        dp[i] = Math.max(2 * dp[i - 2], 3 * dp[i - 3]);
    }
    return dp[n];
}

上面这个思路转化下，其实就是能分解为3，就尽可能分解为3，

分为下面几种情况：

n % 3 == 0 就全部分解为3。

n % 3 == 1 肯定有个4，剩下的分解为3。（4分结成2*2比1*3大）

n % 3 == 2 有个2，剩下的全部分解为3。

 public int integerBreak(int n) {
        if(n<=3)
            return n-1;//n<=3不符合规律
        else if(n%3==0)
            return (int)Math.pow(3,n/3);//注意如果不强制转换会抛异常
        else if(n%3==1)
            return (int)Math.pow(3,(n-4)/3)*4;
        else
            return (int)Math.pow(3,(n-2)/3)*2;
    }