动态规划_01背包

python之行

已于 2025-02-28 15:25:27 修改

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：动态规划算法

于 2025-02-26 18:45:34 首次发布

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2915. 和为目标值的最长子序列的长度

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 target 。
返回和为 target 的 nums 子序列中，子序列长度的最大值。如果不存在和为 target 的子序列，返回 -1 。
子序列指的是从原数组中删除一些或者不删除任何元素后，剩余元素保持原来的顺序构成的数组。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,5], target = 9
输出：3
解释：总共有 3 个子序列的和为 9 ：[4,5] ，[1,3,5] 和 [2,3,4] 。最长的子序列是 [1,3,5] 和 [2,3,4] 。所以答案为 3 。
示例 2：

输入：nums = [4,1,3,2,1,5], target = 7
输出：4
解释：总共有 5 个子序列的和为 7 ：[4,3] ，[4,1,2] ，[4,2,1] ，[1,1,5] 和 [1,3,2,1] 。最长子序列为 [1,3,2,1] 。所以答案为 4 。
示例 3：

输入：nums = [1,1,5,4,5], target = 3
输出：-1
解释：无法得到和为 3 的子序列。
 

提示：

1 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= 1000
1 <= target <= 1000

# 1、记忆化搜索 + 递归
# 内存会超出限制
dfs(i,t) 定义为 序列长度为i，目标值为t时，最长子序列的长度
dfs(i,t) =  max(dfs(i-1,t),dfs(i-1,t-nums[i]) + 1) 对于第i个元素，我们可以选，也可以不选
选第i个元素 最长子序列长度为 dfs(i-1,t-nums[i]) + 1
不选第i个元素 最长子序列长度为 dfs(i-1,t)
在二者中选最大值


def lengthOfLongestSubsequence(nums,target):
	n = len(nums)
	# 缓存计算过的结果
	@cache
	def dfs(i,t):
		if i < 0:
			return 0 if t == 0 else -inf
		if t < nums[i]:
			return dfs(i-1,t)
		else:
			return max(dfs(i-1,t),dfs(i-1,t-nums[i]) + 1)
	ans = dfs(n-1,target)
	return ans if ans > 0 else -1

# 2、递推
# 一般来说 只要可以递归的算法都可以递推
构建二维dp表时，通常行和列都各要多一行，这样是为了方便递推
二维表格起始全部赋值 -inf,对于 f[i][t], 只有t=0时，才算找到了所有的值的和等于目标值
当i=0时，表示递推的起始位置，所以赋值f[0][0] = 0,t != 0的其他位置都不满足条件为-inf
f[i][t] 表示序列长度为i，目标值为t时，等于目标和的最长子集序列长度

def lengthOfLongestSubsequence(nums,target):
	n = len(nums)
	f = [[-inf]*(target+1) for _ in range(n+1)]
	f[0][0] = 0
	for i,x in enumerate(nums):
		for t in range(target+1):
			if x > t:
				f[i+1][t] = f[i][t]
			else:
				f[i+1][t] = max(f[i][t],f[i][t-x]+1)
	ans = f[n][target]
	return ans if ans > 0 else -1

# 3、 优化递推
# 动态规划的无后效性，动态规划只与上一个状态有关，所以我们可以原地更新序列，减少空间复杂度

注意这个地方遍历目标值的时候要倒序，因为我们计算新一轮的值只能用上一轮的值
所以如果用正序，如果我们计算f[5]时，可能会用到f[2]，而用正序时我们前面已经计算过f[2]，所以计算结果就会用这一轮的f[2]就会报错
如果倒序，我们就只会用到上一轮的值

def lengthOfLongestSubsequence(nums,target):
	  n = len(nums)
      f = [-inf]*(target+1)
       f[0] = 0
       for i,x in enumerate(nums):
           for t in range(target,-1,-1):
               if x > t:
                   f[t] = f[t]
               else:
                   f[t] = max(f[t],f[t-x]+1)
       ans =f[target]
       return ans if ans > 0 else -1

416. 分割等和子集

给你一个只包含正整数的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
 

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

# 记忆化搜索 + 递归
 def canPartition(nums):
 	 s = sum(nums)
 	 if s % 2 > 0:
 	 	 return False
 	 t = s / 2
	 @cache 
	 def dfs(i,x):
	 	 if i < 0:
	 	 	 return True if x == 0 else False
		 if x < nums[i]:
		 	 return dfs(i-1,x)
		 else:
		 	 return dfs(i-1,x) or dfs(i-1,x-nums[i])
	 return dfs(len(nums)-1,t)	 	 


# 递推
 def canPartition(nums):
 	  s = sum(nums)
        m = len(nums)
        if s % 2 > 0:
            return False
        # 不加int 会报错
        t = int(s / 2)
        f = [[False]*(t+1) for _ in range(m+1)]
        f[0][0] = True
        for i,x in enumerate(nums):
            for c in range(t+1):
                if x > c:
                    f[i+1][c] = f[i][c]
                else:
                    f[i+1][c] = f[i][c] or f[i][c -x]
        return f[m][t]
	 	 	 		

# 优化后的递推
 def canPartition(nums):
 	 s = sum(nums)
     m = len(nums)
     if s % 2 > 0:
         return False
     # 不加int 会报错
     t = int(s / 2)
     f = [False]*(t+1) 
     f[0] = True
     for i,x in enumerate(nums):
         for c in range(t,-1,-1):
             if x > c:
                 f[c] =f[c]
             else:
                 f[c] = f[c] or f[c -x]
     return f[t]

494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个表达式：例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同表达式的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1
 

提示：

1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 1000
0 <= sum(nums[i]) <= 1000
-1000 <= target <= 1000

数组的和为s 加 '-'号的原本的和为p 目标和为target
所以有 (s-p)-p = target,  2p = s -target ==> p = (s-target ) /2
所以我们只需要在nums中找目标和等于p的组合种数

 def findTargetSumWays(self, nums, target):
 	  s = sum(nums)
      if s < target:
          return 0
      if (s-target) % 2 == 1:
          return 0
      p = (s-target)/2
      @cache 
      def dfs(i,x):
          if i < 0:
              return 1 if x == 0 else 0
          if x < nums[i]:
              return dfs(i-1,x)
          else:
              return dfs(i-1,x) + dfs(i-1,x-nums[i])
      return dfs(len(nums)-1, p)
 	 

# 递推
 def findTargetSumWays(self, nums, target):
 	  s = sum(nums)
      n =  len(nums)
       if s < target:
           return 0
       if (s-target) % 2 == 1:
           return 0
       p = int((s-target)/2)
       f = [[0]*(p+1) for _ in range(n+1)]
       f[0][0] = 1
       for i,x in enumerate(nums):
           for c in range(p+1):
               if x > c:
                   f[i+1][c] = f[i][c] 
               else:
                   f[i+1][c] =  f[i][c] + f[i][c-x]
       return f[n][p]
      	 	 
# 优化后的递推

def findTargetSumWays(self, nums, target):
 	  s = sum(nums)
      n =  len(nums)
       if s < target:
           return 0
       if (s-target) % 2 == 1:
           return 0
       p = int((s-target)/2)
       f = [0]*(p+1)
       f[0] = 1
       for i,x in enumerate(nums):
           for c in range(p, -1, -1):
               if x > c:
                   f[c] = f[c] 
               else:
                   f[c] =  f[c] + f[c-x]
       return f[p]

2787. 将一个数字表给你两个正整数 n 和 x 。

请你返回将 n 表示成一些互不相同正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 [n1, n2, …, nk] 的集合数目，满足 n = n1**x + n2**x + … + nk**x 。由于答案可能非常大，请你将它对 10**9 + 7 取余后返回。
比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 2**3 + 3**3 + 5**3 。示成幂的和的方案数

示例 1：

输入：n = 10, x = 2
输出：1
解释：我们可以将 n 表示为：n = 3**2 + 1**2 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。
示例 2：

输入：n = 4, x = 1
输出：2
解释：我们可以将 n 按以下方案表示：
- n = 4**1 = 4 。
- n = 3**1 + 1**1 = 4 。
 

提示：

1 <= n <= 300
1 <= x <= 5

# 记忆化搜索 + 递归

注意这个地方是小于1，不是小于0，因为是求正整数组合，所以小于1时就迭代完了

def numberOfWays(n, x):
    @cache
    def dfs(i,t):
         if i < 1:
             return 1 if t == 0 else 0
         if t < i**x:
             return dfs(i-1,t) % (10**9 + 7)
         else:
             return (dfs(i-1,t) + dfs(i-1,t-i**x)) % (10**9+7)
     return dfs(n,n)

# 递推
def numberOfWays(n, x):
    f = [[0]*(n+1) for _  in range(n+1)]
      f[0][0] = 1
      for i in range(1,n+1):
          for c in range(n+1):
              if c < i**x:
                  f[i][c] = f[i-1][c]
              else:
                  f[i][c] = f[i-1][c] + f[i-1][c - i**x]
      ans = f[n][n] % (10**9 + 7)
      return ans
 
 # 优化后的递推 			

def numberOfWays(n, x):
    f = [0]*(n+1)
    f[0] = 1
     for i in range(1,n+1):
         for c in range(n,-1,-1):
             if c < i**x:
                 f[c] = f[c]
             else:
                 f[c] = f[c] + f[c - i**x]
     ans = f[n] % (10**9 + 7)
     return ans

3180. 执行操作可获得的最大总奖励 I

给你一个整数数组 rewardValues，长度为 n，代表奖励的值。

最初，你的总奖励 x 为 0，所有下标都是未标记的。你可以执行以下操作任意次：从区间 [0, n - 1] 中选择一个未标记的下标 i。
如果 rewardValues[i] 大于你当前的总奖励 x，则将 rewardValues[i] 加到 x 上（即 x = x + rewardValues[i]），并标记下标 i。
以整数形式返回执行最优操作能够获得的最大总奖励

示例 1：

输入：rewardValues = [1,1,3,3]

输出：4

解释：

依次标记下标 0 和 2，总奖励为 4，这是可获得的最大值。

示例 2：

输入：rewardValues = [1,6,4,3,2]

输出：11

解释：

依次标记下标 0、2 和 1。总奖励为 11，这是可获得的最大值。

 

提示：

1 <= rewardValues.length <= 2000
1 <= rewardValues[i] <= 2000

# 记忆化搜索 + 递归
# 超出内存限制 ，这个地方 rewardValues 倒序排序，不然会得到错误的结果
def maxTotalReward(self, rewardValues: List[int]) -> int:
       rewardValues.sort(reverse=True)
       @cache
       def dfs(i,x):
           if i < 0:
               return x
           if rewardValues[i] <= x:
               return dfs(i-1,x)
           else:
               return max(dfs(i-1,x),dfs(i-1,x+rewardValues[i]))
       return dfs(len(rewardValues) - 1,0)

474. 一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集

示例 1：

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
 

提示：

1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
1 <= m, n <= 100

# 记忆化搜索 + 递归

def findMaxForm(strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        @cache
        def dfs(i,m,n):
            x = strs[i]
            if i < 0:
                return 0 if m >=0 and n >=0  else -inf
            if x.count('0') > m  or x.count('1') > n:
                return dfs(i-1,m,n)
            else:
                return max(dfs(i-1,m,n),dfs(i-1, m-x.count('0'), n-x.count('1')) + 1)
        return dfs(len(strs)-1,m,n)