【数据结构】压缩特殊矩阵

矩阵是一种常用的数学对象，一般情况下，小的矩阵我们可以直接用二维数组直观方便地储存，但是在科学与工程计算问题中常会遇到较高阶数的矩阵，并且矩阵中会出现大量零元素，或者矩阵中的元素呈某种规律分布。如果在这种情况下仍然采用二维数组描述矩阵，看起来储存密度为1，实际上却占用了许多单元去储存零元素或重复的非零元素，从而会造成极大的浪费。为了节省储存空间，我们可以对这类矩阵进行储存压缩。

所谓的储存压缩是指：为矩阵中多个相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配空间。特殊矩阵和稀疏矩阵是两类适合进行压缩存储的矩阵。本文先讲特殊矩阵，所谓的特殊矩阵是指非零元素分配有一定规律的矩阵，常见的特殊矩阵有对称矩阵、三角矩阵、三对角矩阵等。

对称矩阵：

在n阶方阵中，有a[i][j] == a[j][i]性质的，称为对称矩阵。
对称矩阵的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角部分或者下三角部分就可以。这相当于让每两个对称的元素共享存储空间，能节约近一半的空间。
这里存储下三角。
在对称矩阵的下三角部分中，第i行恰有i + 1个元素，总数为[n * (n + 1)] / 2.
因此，我们可以按照如下图所示的顺序将其存入到一个一维数组s中实现压缩存储。

一维数组s的大小应该是[n * (n + 1)] / 2，其下标k的范围为0 ~ [n * (n + 1)] / 2 - 1;

图：对称矩阵压缩存储

为了访问对称矩阵A中的元素，我们必须在两者之间找到相应的对称关系：

若i >= j,则a[i][j]在下三角部分中，a[i][j]之前的i行一共有1+2+3+…+i = [i * (i + 1)] / 2个元素，在第i行上，a[i][j]之前恰有j个元素