阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.5 Linear Independence

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• 首次发表日期：2024-07-18
• Mathematics for Machine Learning官方链接： https://mml-book.com
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2.5 线性无关（ Linear Independence）

接下来，我们将仔细看看如何操作向量（向量空间的元素）。特别是，我们可以将向量相加并用标量相乘。闭合性（closure property）保证了我们最终得到的还是同一向量空间中的另一个向量。我们可以找到一组（set）向量，通过相加和缩放这些向量，我们可以表示向量空间中的每一个向量。这组向量称为基（base），我们将在第2.6.1节讨论它们。在此之前，我们需要介绍线性组合和线性无关的概念。

定义 2.11（线性组合）。考虑一个向量空间 $V$ 和有限数量的向量 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k\in V$。那么，每一个 $\mathbf{v}\in V$ 形式如下的向量

$$\mathbf{v}={\lambda }_1{\mathbf{x}}_1+\cdots +{\lambda }_k{\mathbf{x}}_k=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{\mathbf{x}}_i\in V\text{\hspace{1em}(2.65)}$$

其中 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k\in \mathbb{R}$ 是向量 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k$ 的线性组合。

零向量 $0$ 总是可以写成 $k$ 个向量 ${\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_k$ 的线性组合，因为 $0={\sum }_{i=1}^{k}0{\mathbf{x}}_i$ 总是成立的。接下来，我们对一组向量的非平凡（non-trivial）线性组合表示 $0$ 感兴趣，即向量 $\mathbf{x}$