hdu 3625 && hdu 2512 && loj 1326

最新推荐文章于 2021-07-12 20:24:12 发布

shiyuankongbu

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本文介绍第一类和第二类Stirling数的概念及其递推公式，并通过几个具体题目展示了如何利用这些数学工具解决组合计数问题。同时，还探讨了Bell数与Stirling数之间的联系。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

顺着上篇写的那个Bell数，看到了一些关于Stirling数的题，顺便做了做。

第一类Stirling数：

p个元素分成k个非空环的方案数 s(p,k) = (p-1)*s(p-1,k) + s(p-1,k-1) 可以理解成由p-1个元素分成k个环的情况下插入一个元素的方案数，加上一个单独成一个环，其余的元素分成k-1个环的方案。

第二类Stirling数：

p个元素分成k个非空集合的方案数 s(p,k) = k*s(p-1,k) + s(p-1,k-1) 可以理解成由p-1个元素分成k个集合的情况下选择一个集合插入最后的那个元素，加上一个元素单独一个集合，其余元素分成k-1个集合的方案数。

两者边界都是s(0,0)=1

题目：hdu 3625

属于第一类Stirling数，由于第一扇门不能被破坏，所有方案数为 sigma (s(n,i) - s(n-1,i-1) ) i from 1 to k

#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define maxn 21
long long fac[maxn];
long long s[maxn][maxn];
void init()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(i-1)*s[i-1][j]+s[i-1][j-1];
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i;
}
long long solve(int n,int k)
{
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        ans+=s[n][i]-s[n-1][i-1];
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,k;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        printf("%.4lf\n",1.0*solve(n,k)/fac[n]);
    }
    return 0;
}

题目：hdu 2512

求的跟那道 Bell 一样的，不过范围小得多。

// 直接用Bell数
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define mod 1000
#define maxn 2001
long long c[maxn][maxn];
long long b[maxn];
void init()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    c[0][0]=1;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        c[i][0]=c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    b[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        b[i]=0;
        for(int j=0;j<i;j++)
            b[i]=(b[i]+c[i-1][j]*b[j])%mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%I64d\n",b[n]);
    }
    return 0;
}

或者用第二类Stirling数（其本质是一样的）

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define mod 1000
#define maxn 2001
long long s[maxn][maxn];
long long b[maxn];
void init()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=0;j<=i;j++)
            s[i][j]=(j*s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;
    }
    b[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        b[i]=0;
        for(int j=0;j<=i;j++)
            b[i]=(b[i]+s[i][j])%mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%I64d\n",b[n]%mod);
    }
    return 0;
}

题目：light 1326 - Race

思路：裸的第二类Stirling数+全排列

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define maxn 1010
#define mod 10056
long long fac[maxn];
long long s[maxn][maxn];
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
            s[i][j]=(j*s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;
    }
}
long long solve(int n)
{
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=(ans+s[n][i]*fac[i])%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %lld\n",cas,solve(n));
    }
    return 0;
}