洛谷 P1848

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动态规划优化

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本文介绍了一种通过线段树优化的动态规划算法解决书架布局问题的方法，旨在找到放置书籍的最佳方式，使得书架整体高度最小化。该算法考虑了书籍的宽度和高度约束，利用线段树的数据结构来提高状态转移过程的效率。

题目描述：

当农夫约翰闲的没事干的时候，他喜欢坐下来看书。多年过去，他已经收集了 N 本书 (1 <= N <= 100,000)，他想造一个新的书架来装所有书。每本书 i 都有宽度 W(i) 和高度 H(i)。书需要按顺序添加到一组书架上；比如说，第一层架子应该包含书籍1 ... k，第二层架子应该以第k + 1本书开始，以下如此。每层架子的总宽度最大为L（1≤L≤1,000,000,000）。每层的高度等于该层上最高的书的高度，并且整个书架的高度是所有层的高度的总和，因为它们都垂直堆叠。请帮助农夫约翰计算整个书架的最小可能高度。有N(1 <= N <= 100000)本书，每本书有一个宽度W(i)，高度H(i)，(1 <= H(i) <= 1,000,000; 1 <= W(i) <= L)。现在有足够多的书架，书架宽度最多是L (1 <= L <= 1,000,000,000)，把书按顺序（先放1，再放2.....）放入书架。某个书架的高度是该书架中所放的最高的书的高度。将所有书放入书架后，求所有书架的高度和的最小值？

/*
很容易想到状态转移方程：f[i]=min(f[j]+max(h[j+1],h[j+2]……h[i])这样的时间复杂度是n^2点，显然过不了。那么可以想想，h[j]是随
j的增大而单调不减的，是具有单调性的，所以可以线段树进行优化 
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#define N 10000000
#define INF 0x7f7f7f7f
#define LL long long
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
#define midd mid = (l+r)>>1
#define lson l,mid,x<<1
#define rson mid+1,r,x<<1|1
using namespace std;
int n;
int hei,W[N];
LL ans=(LL)0;
int H[N],h[N],tag[N];
LL f[N],val[N],L;
void merge(int x)
{
	H[x]=max(H[ls],H[rs]);h[x]=min(h[ls],h[rs]);val[x]=min(val[ls],val[rs]);
	return ;
}
void pushdown(int x)
{
	if(!tag[x]) return ;
	tag[ls]=H[ls]=h[ls]=tag[rs]=H[rs]=h[rs]=tag[x];
	val[ls]=f[ls]+(LL)tag[x];val[rs]=f[rs]+(LL)tag[x];
	tag[x]=0;return ;
}
void change(int l,int r,int x,int ll,int rr,int c)
{
	if(ll <= l && r <= rr)
	{
		if(c>=H[x])
		{
			H[x]=h[x]=tag[x]=c;val[x]=f[x]+(LL)c;return ;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		pushdown(x);
		if(h[x<<1] <= c)  change(lson,ll,rr,c);
		if(h[x<<1|1] <= c) change(rson,ll,rr,c);
		merge(x);return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x);
	if(ll <= mid) change(lson,ll,rr,c);
	if(mid < rr) change(rson,ll,rr,c);
	merge(x);return ;
}
LL Get(int l,int r,int x,int ll,int rr)
{
	if(ll <= l && r <= rr) return val[x];
	int mid=(l+r)>>1;LL minn=1ll<<58;
	pushdown(x);
	if(ll <= mid) minn=min(minn,Get(lson,ll,rr));
	if(rr > mid) minn=min(minn , Get(rson,ll,rr));
	return minn;
}
void add(int l,int r,int x,int pos,LL c)
{
	if(l == r){f[x]=c;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	pushdown(x);
	if(pos <= mid) add(lson,pos,c);
	else add(rson,pos,c);
	f[x]=min(f[ls],f[rs]);
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&L);
	LL last=(LL)1,sum=(LL)0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&hei,&W[i]);
		sum+=(LL)W[i];
		while(sum>L) sum-=(LL)W[last++];
		change(1,n,1,1,i,hei);
		ans=Get(1,n,1,last,i);
		add(1,n,1,i+1,ans);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
/*
5 10
5 7
9 2
8 5
13 2
3 8

21
*/