数据结构＜C语言实现＞二叉树

mashirooo~

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分类专栏：数据结构文章标签：数据结构算法 c语言

于 2022-04-30 22:13:33 首次发布

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4.二叉树链式结构及实现

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1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n(n>=0) 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

* 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点。

* 除根节点外，其余节点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合T1,T2,.......,Tm,其中每一个集合

Ti(1 <= i <= m) 又是一颗结构与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

* 因此，树是递归定义的。

树与非树

子树是不相交的

除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点

一颗N个节点的树有N - 1条边

1.2树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如图：A的为6

*叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B,C,H,I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D,E,F,G等为分支节点

*双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

*孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B,C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

*树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4（从0开始为-1）

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点为堂兄弟；如上图H,I互为堂兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任意一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由 m(m > 0) 棵互不相交的树的集合称为森林（并查集）

1.3树的表示

树结构的表示相对比较复杂，要存储表示起来也比较麻烦。既要保存值域，也要保存节点之间的关系。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等等。

例：孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct TreeNode
{
    struct TreeNode* firstChild1;     //第一个孩子节点
    struct TreeNode* pNextBrother;    //指向下一个兄弟节点
    DataType data;                //节点中的数据域
};

2.二叉树的概念及结构

2.1概念

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

1.或者为空

2.由一个根节点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1.二叉树不存在度大于2的节点

2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2特殊的二叉树

1.满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为k，且节点总数是2^k - 1，则它就是满二叉树。

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树引出来的。对于深度为k的，有n个节点的二叉树，当且仅当每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的节点—一一对应时称之为完全二叉树。要注意的时满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

（前k - 1层时满的，最后一层不满）度为1有1个或0个

2.3二叉树性质

1.若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1)个节点

2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点数是2^h - 1

3.对任何一颗二叉树，如果度为0其叶节点个数为n0，度为2的分支节点个数为n2，n0 = n2 + 1

（度为0的比度为2的多1个）

4.若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度，h = log2(n + 1)

5.对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的节点有：

1.若i > 0，i位置节点的双亲序号：(i - 2)/2; i = 0, i为根节点编号，无双亲节点

2.若2i + 1 < n,左孩子序号：2i + 1, 2i + 1>= n否则无左孩子

3.若2i + 2 < n,右孩子序号：2i + 2, 2i + 2 >= n否则无右孩子

2.4二叉树的存储结构

二叉树一般可以有两种存储结构，一种顺序结构，一种链式结构

1.顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一颗二叉树，即用链表来表示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中的每个节点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该点左孩子和右孩子所在的链节点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前的为二叉链，后续到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;

//二叉链

struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* pLeft; //指向当前节点左孩子
    struct BinaryTreeNode* pRight;//指向当前节点右孩子
    BTDataType Data;              //当前节点域
}

typedef int BTDataType;

//三叉链

struct BinaryTreeNode
{
    struct BinaryTreeNode* pParent; //指向当前节点的双亲
    struct BinaryTreeNode* pLeft;   //指向当前节点左孩子
    struct BinaryTreeNode* pRight;  //指向当前节点右孩子
    BTDataType Data;                //当前节点域
}