拨开云雾见月明—分析容器的倒水问题

最新推荐文章于 2022-07-05 13:19:48 发布

原创最新推荐文章于 2022-07-05 13:19:48 发布 · 2.1k 阅读

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#倒水问题 #辗转相除法

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本文深入解析了一个看似简单的挑战题，实则蕴含了数学与编程的巧妙结合。通过引入最大公约数的概念，揭示了解决问题的关键所在，并提供了具体的代码实现，帮助读者理解如何运用数学原理解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

无意中看到一道挑战题目，难度系数一颗星，可是发现挑战的人很多，挑战成功的人反而不多。很是奇怪，于是细细看了看题目，发现它的初衷原来是如此回事儿。题目如下：

有两个容器，容积分别为A升和B升，有无限多的水，现在需要C升水。我们还有一个足够大的水缸，足够容纳C升水。起初它是空的，我们只能往水缸里倒入水，而不能倒出。可以进行的操作是：把一个容器灌满；把一个容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）；用一个容器的水倒入另外一个容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器满。问是否能够通过有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。输入：三个整数A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000 输出：0或1，表示能否达到要求。

这道题的意思就是根据A,B,C三个容器的容量，判断用A和B两个定容容器能否量够C升的水。A,B可以量够，从特殊情况考虑有三种基本情况，即①C%A==0;②C%B==0;③C%|A-B|==0，组合为一般式为：

i*A+j*B+k*|A-B|=C ，由题的一般性，不妨假设A>B，则上式简化为（i+k）*A+(j-k)*B=C。设x=i+k;y=j-k;继续简化为A*x+B*y=C。

到此，我们就可以明白该题的实质就是要我们判断是否存在整数x,y使得给定系数A,B,C满足等式：A*x+B*y=C。

我们知道，这样的二元一次方程存在整数解，则有C%gcd(A,B)==0，其中gcd（A,B）函数为求A,B的最大公约数，我们可以通过辗转相除法来解决。相关代码如下：

int can(int a,int b,int c) {
    if(c<=1000000000){
         int d=gcd(a,b);
         if(c%d==0)
            return 1;
         else
            return 0;  
     }
   else
      return 0;
}

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)
       return a;
     while(b!=0){
         int r=b;
         b=a%b;
         a=r;
     }
}