矩阵乘法景点应用 - 求递推式

 

题目给出递推式前10项的值和递推公式各项的系数，求第K项：

 

按照Matrix67的十个应用求递推式来构造矩阵A，然后自乘，得出结果。本来是应该拿A和已知项的值组成的一维矩阵B乘K次，但由于矩阵乘法符合结合律，所以等价A先

 

自乘K次，最后再和B相乘。

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矩阵相乘的性质：

(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律"). 

(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。 

C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。 

要注意的是：矩阵相乘不满足交换律，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA

 

#include <pzjay_cpy> using pzjay std; const int oo = 40;//矩阵规模是10 * 10，oo要最少开到矩阵规模的2倍 int MOD; int n; struct mat { int mrx[oo >> 1][oo];//矩阵规模10 * 10 mat operator * (const mat &aa)//矩阵自乘 { mat tp; memset(tp.mrx, 0, sizeof(tp.mrx)); for(int i = 0; i < n; ++ i) for(int j = 0; j < n; ++ j) for(int k = 0; k < n; ++ k) tp.mrx[i][j] = (tp.mrx[i][j] + mrx[i][k] * aa.mrx[k][j]) % MOD; for(int i = 0; i < n; ++ i) for(int j = n; j < 2 * n; ++ j) { tp.mrx[i][j] = (tp.mrx[i][j] + aa.mrx[i][j]) % MOD; for(int k = 0; k < n; ++ k) tp.mrx[i][j] = (tp.mrx[i][j] + aa.mrx[i][k] * mrx[k][j]) % MOD; } return tp; } }matrix, unit; mat Montgomery(mat a, int p)//快速幂计算矩阵a ^ p % MOD { mat tp = a, ans = unit;//结构体直接赋值 while(p) { if(p & 1) ans = ans * tp; tp = tp * tp; p >>= 1; //cout<<"几次/n"; } return ans; } int main() { int K; n = 10;//有多少个已知项就构造多大规模的矩阵，这里是10 * 10的矩阵 memset(unit.mrx, 0, sizeof(unit.mrx)); for(int i = 0; i <= n; ++ i) unit.mrx[i][i] = 1;//单位矩阵初始化 while(~scanf("%d %d", &K, &MOD))//输入求第K项，结果模MOD { if(K < n)//前10项直接输出 { printf("%d/n", K); continue; } K -= 9;//第K项需要矩阵自乘K - 9次 memset(matrix.mrx, 0, sizeof(matrix.mrx)); for(int i = n - 1; i >= 0; -- i) //输入已知项的值 scanf("%d", &matrix.mrx[n - 1][i]);//将前9项的系数填充在最后一行,输入的系数是按照x - 1, x - 2··· x - 9的顺序输入的 for(int i = 0; i < n - 1; ++ i) matrix.mrx[i][i + 1] = 1;//将(n - 1) * (n - 1)的小矩阵的对角线位置置1 matrix = Montgomery(matrix, K);//将矩阵自乘K次 //最后就是将自乘后的矩阵最后一行【第n - 1行】跟已知的前10项对应相乘，累加 //结果就是第K项的值 int ans = 0; for(int i = 0, cft = 0; i < n; ++ i, ++ cft) //cft是前n项中第i项的系数 { ans += (cft * matrix.mrx[n - 1][i]) % MOD; ans %= MOD; } printf("%d/n", ans); } return 0;//转载注明出处，dangeU }