洛谷 P1073 最优贸易 (分层图状态转移+SPFA，求最长路径；另附某dalao的超短代码：暴力+动规)

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另附某dalao的超短代码：暴力+动规

P1073 最优贸易

题目描述

C国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。
任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。
这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。

C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。
但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到C国旅游。
当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。
设C国 n 个城市的标号从 1~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。

在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。

因为阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。
请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

注意：本题数据有加强。

输入格式

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。

如果z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。

输出格式

一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 000。

输入输出样例

输入 #1
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

输出 #1
5

（别人的）思路：

刚开始做这道题的时候，不知道什么是分层图状态转移，上来就直接dfs暴力，然后直接TLE了。后来想用bfs，但是想不通。
最后看了解析，才知道是分层图状态转移，配上一个spfa想过很好。
如下：

读完这道题，可以发现这样的事实：

你可以在图上任意走动

最终答案只与你的买入与卖出价格有关（我们就把买入卖出价值作为边权）
如果你买入了一个水晶球，你是没有不卖它的道理的（显然咯，买了不卖血亏...）

n平方的算法不难得出：

我只关心我在哪里买了这个水晶球，在哪里把它卖出去，并且，我能否从起点走到我的买入点，从买入点走到卖出点，然后在走到n

因此，先枚举两个点再bfs检查能否到达，然后更新答案。

而此题的难点在与你如何知道你是否能够到达买入，卖出，钟点（即上两行 并且 后面我说的话），和你能否把所有可能的情况考虑在内。

分层图可以很好的解决这个问题。

由于可以任意走动，所以我们可以建一张图，令图上的边全都是0，表示我的走动对我最终的结果没有影响。

考虑某个点 i ，它买入或者卖出水晶球的花费是v[i] 。

那么 当我们进行买入操作，我们就建立一条有向边转移到一张新图上，边的大小为-v[i]，指向点i所能到达的点（在第二层图上）而这张新图就是我们的第二层图。

它表示：假如我选择走了这条边，就是我在这个点买了这个水晶球，我不会反悔，并且我接下来考虑在某个点卖它。

当我们进行卖出操作，我们建立一条有向边转移到第三层图上，边的大小为v[i]，指向i所能到达的点（在第三层图上）。

它表示：假如我选择走了这条边，就是我在这个点卖了这个水晶球，我不会反悔，并且我接下来考虑走向终点。

可以发现，从第一层图走到第二层图走到第三层图走到终点，这就是一个合法的选择，而且分层图把所有可能的决策都考虑到了。

最后走向终点，我们有两种合法的操作：

不买卖直接走向终点

直接在第一层图的n号节点建立边权为0的有向边接入一个“超级终点”

买卖一次后走向终点

在第三层图的n号节点建立边权为0的有向边接入“超级终点”

最后解释一下为什么我们要分层：

因为当你分了层，你就可以从还未买入这个状态，转移到已经买入准备卖出这个状态，然后在转移到从卖出点走向终点的状态。由于有向边的建立，你不能从第二/三层走回第一层图，这保证了你只做一次买卖，而不是无限做买卖，符合了题目的要求

而我们最终的答案，就是求从第一层图的1号点，经过三层图走到“超级终点”的最长路,如图所示。

到此，本题就解完了

我的代码：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
#define maxn 3*100005+1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

struct node{
    int v;
    int dis;//到v的长度
    node(int _v,int _dis){
        v=_v;
        dis=_dis;
    }
};

vector<node> adj[maxn];//邻接图
int n,m,d[maxn];//d为长度
bool inq[maxn];//标记数组，判断是否在队列里
int value[(maxn-1)/3];//水晶球价格


void spfa(int s){
    memset(inq,false,sizeof(inq));
    fill(d+1,d+maxn,-inf);//-inf初始化推荐fill，memset只能初始化0和-1
    queue<int> q;
    q.push(s);
    inq[s]=true;//入队列，标记
    d[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        inq[u]=false;//出队列，取消标记
        for(int i=0;i<adj[u].size();i++){
            int v=adj[u][i].v;
            int dis=adj[u][i].dis;
            if(d[u]+dis>d[v]){//取更大者
                d[v]=d[u]+dis;
                if(!inq[v]){//如果v没入队列，进入并标记，否则会重复操作
                    q.push(v);
                    inq[v]=true;
                }
            }
        }
    }
}

void addedge(int u,int v){
    adj[u].push_back(node(v,0));//第一层
    adj[u+n].push_back(node(v+n,0));//第二层
    adj[u+2*n].push_back(node(v+2*n,0));//第三次

    adj[u].push_back(node(v+n,-value[u]));//第一层买入后进入第二层
    adj[u+n].push_back(node(v+2*n,value[u]));//第二层卖出后进入第三层

}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>value[i];
    }
    int a,b,c;
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;
        addedge(a,b);
        if(c==2){//双向
            addedge(b,a);
        }
    }
    adj[n].push_back(node(3*n+1,0));//第一层连接超级节点3*n+1
    adj[3*n].push_back(node(3*n+1,0));//第三层连接超级节点3*n+1
    spfa(1);
    cout<<d[3*n+1]<<endl;
    return 0;
}

dalao的超短代码：暴力+动规

dalao的解析链接

第一、输入。存邻接表
第二、我们需要做深搜。可以用递归来做，同时做动规：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x7f7f7f7f
#define MAXN 100005
using namespace std;

vector<int> g[MAXN];
int n,m,f[MAXN],mi[MAXN],c[MAXN];

void dfs(int x,int minx,int pre) {
    int flag=1; 
    minx=min(c[x],minx);
    if (mi[x]>minx) mi[x]=minx,flag=0;
    int maxx=max(f[pre],c[x]-minx);
    if (f[x]<maxx) f[x]=maxx,flag=0;
    if (flag) return;
    for (int i=0;i<g[x].size();i++) dfs(g[x][i],minx,x);
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;i<MAXN;i++) mi[i]=INF;
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int t1,t2,t3;
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
        g[t1].push_back(t2);
        if (t3==2) g[t2].push_back(t1);
    }
    dfs(1,INF,0);
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}