梯度 方向导数 偏导数的一些整理

方向导数与梯度之间的关系：


方向导数是函数沿各个方向的导数，梯度是一个向量，因此梯度本身是有方向的：
1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的，换句话说，一个函数在各个方向都有方向导数，其中梯度这个方向的导数为最大；
2、函数方向导数的最大值为梯度的模。


方向导数是一个标量，对隐函数在某点处求得对各个自变量的偏导数后，乘以某个方向上的各个角度的投影角度值，得到该点在这个方向上的最终导数
而梯度是一个矢量，带有方向，首先也是对隐函数在该点求得对各个自变量的偏导数，又因为函数在该点变化趋势最大的方向就是该点切线的法向量，因此梯度的方向为该点法向量的方向，这样保证在梯度方向上， 函数变化趋势最大。而法向量则是垂直于曲面在该点的切平面，曲面在某点处的切平面由通过该点的N条曲线的切向量构成，而这N条曲线都在曲面上。

对于单变量函数，若在某点取得极值，则该点的导数为0。同样对于多变量函数，在某点为极大值或极小值只有当在该点的每个偏导数等于0才有可能，也就是说梯度等于0。因此，在多变量函数中，驻点，也就是导数为0的点，指的是每
个偏导数等于0，也就是梯度等于0的点。

梯度的本身定义就说明了再标量场中某一点上的梯度，指的是标量场在该点增长最快的方向，梯度的模是这个最大的变化率,
或者说是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。


梯度与切向量，切平面的关系：
在求梯度与某点切向量的关系时，首先要明白曲线或者曲面在该点处的切向量或者切平面的求法。
下面来说明梯度和切向量垂直,设曲线x=x(t),y=y(t),z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数,u(x,y,z)=c表示等值面）,
由于该曲线在曲面上,所以x=x(t),y=y(t),z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c,即u(x(t),y(t),z(t))=c,利用复合函数求导法则,
方程两边同时对t求导数,得 (ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0,所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)垂直.
而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量,向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度,所以梯度和切向量垂直。