算法导论--学习笔记010

问题描述：

Stewart教授是一家公司总裁的顾问，这家公司计划一个公司聚会。这个公司有一个层次式的结构；也就是说，管理关系形成一棵以总裁为根的树。人事部给每个雇员以喜欢聚会的程度来排名，这是个实数。为了使每个参加者都喜欢这个聚会，总裁不希望一个雇员和他（她）的直接上司同时参加。

Stewart教授面对一棵描述公司结构的树，使用了左子女、右兄弟表示法。树中每个结点除了包含指针，还包含雇员的名字和该雇员喜欢聚会的排名。描述一个算法，它生成一张客人列表，使得客人喜欢聚会的程度的总和最大。分析你的算法的执行时间。

解答：这题目很像背包问题中的依赖背包问题，公司的每个成员都有去或不去两个状态，我们0表示去，1表示不去，而每个状态的选择又会影响到它孩子节点的状态，假设公司员工的树图符合下面这个图：

 我们用R[N]表示以N为根节点的子树参加聚会的喜好程度的最大值，用L[N]表示节点N对参加聚会的喜好程度。那么我们知道R[N]就是以下两个值得最大值：

R[N.1]=L[N]+∑ R[N.children.0]    表示节点N参加聚会，那么它所有的孩子都不能参加

R[N.0]=∑ max{R[N.children.1],R[N.children.0]}    表示节点N不参加聚会，那么它所有的孩子可以参加也可以不参加

于是R[N]=max{R[N.1],R[N.0]}，哪个值大，就知道了N应不应该去。

在实现过程中我们可以从根节点开始递归遍历一下树，求出其每个节点的R[N.0]和R[N.1]，递归结束的条件为到达叶节点N时R[N.0]=0,R[N.1]=L[N]，在求出每个节点的R[N.0]和R[N.1]之后，我们递归再遍历一次树，来决定每个节点要不要参加聚会，对于每个内部节点，

如果它没有父节点（也就是根节点）那么设置R[N.0]>R[N.1]?N.state=0:N.state=1

如果是非根节点，首先判断if parent[N].state=1,  N.state=0    父节点去，孩子都不能去

                       else R[N.0]>R[N.1]?N.state=0:N.state=1  父节点去，孩子可去可不去

然后对每个N如果有孩子，则递归地遍历他每一个孩子。因为总的时间为两次遍历的时间O(2n)

第一遍用备忘录版本的递归即可。伪代码如下：

假设结点定义为：

struct Node{
	string key; //结点标识，也即用来区分每个人
	Node *leftchild;
	Node *rightbro;
	Node *parent;
	int L;	//表示当前结点对聚会的热衷程度
};

那么备忘录版本的动规伪代码如下：

hash_map<string> R;		//表示以key+tag(tag即为0或1表示去或不去的状态)的根节点最大喜好度
				//初始所有的R[key]=INT_MIN(也就是无穷小)
int PARTY(Node *curr, int tag){
	if(curr==NULL)	return 0;
	string key=curr->key+tag?"1":"0";
	if(curr->leftchild==NULL)	R[key]=tag?curr->L:0;	//表示当前节点没有孩子
	if(R[key]>INT_MIN)	return R[key];
	if(tag){		//表示当前节点去聚会，那么其子节点全不能去
		int sum=0;
		Node *beg=curr->leftchild;
		while(beg){
			sum+=PARTY(beg,0);
			beg=beg->rightbro;
		}
		sum+=curr->L;	//加上当前节点的喜好度
		R[key]=sum;
	}else{
		int max=0;
		Node *beg=curr->leftchild;
				while(beg){
						int max_0=PARTY(beg,0);
						int max_1=PARTY(beg,1);
						max+=max_0>max_1:max_0:max_1;
			beg=beg->rightbro;
				}
				R[key]=max;
	}
	return R[key];
}

最终max{R[root->key+"0"], R[root->key+"1"]}就是最终的值

下面再遍历一遍所有结点来确定每个人去或留的状态，即可得到list.