DFS总结

DFS总结

DFS介绍

DFS（Depth First Search）是一种搜索方式，时间复杂度很高，适用小数据，原理是自己调用自己。
DFS实质上是递归，包括四要素：类型，参数列表，边界，调用。
以下面一个为引例：

long long/*类型*/j(int x)/*参数列表*/{
	if(x==1) return 1;//边界
	return j(x-1)*x;//调用
}

这实现了求 $x$ 阶乘 $x!=1\times 2\times \cdots \times x$。
示例：求 $3$ 阶乘 ：
$\because j(x)=j(x-1)\times x,j(1)=1$
$\therefore j(3)=j(3-1)\times 3=j(2)\times 3=j(2-1)\times 2\times 3=j(1)\times 2\times 3=1\times 2\times 3=6$
$\therefore j(3)=6$
递归有时也很快，如求两个数的最大公约数：

int gcd(int x,int y){
	if(y==0) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

通过辗转相除法很快地求两个数的最大公约数。

枚举方式

DFS用一句话概括就是：“一直往下走，走不通回头，换条路再走，直到无路可走”。
枚举方式有三种：

1. 子集枚举
2. 排列枚举
3. 组合枚举

子集枚举

子集枚举即枚举集合中的每个子集。
每个数有选或不选两种状态，所以时间复杂度为 $O(2^n)$。

书架

就是枚举子集，求和，与 $b$ 比较，得出答案。
代码如下：

int n,vis[33]={},a[33]={},ans=inf,b;//vis为该数选或不选，a为集合
void dfs(int k){
	if(k==n+1){
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) sum+=vis[i]*a[i];
		if(sum>=b) ans=min(ans,sum-b);//更新答案
		return;
	}for(int i=0;i<=1;i++){
		vis[k]=i;
		dfs(k+1);
	}
}

示例输入

5 16
3
1
3
5
6

示例输出

1

样例解释

子集 { 3 , 3 , 5 , 6 } \{3,3,5,6\} {3,3,5,6} 和为 $17$，比 $16$ 大且比 $16$ 大 $1$。

排列枚举

一组数据的一种排序，叫这组数据中一个排列。
一组数据（ $n$ 个数）有 $A_n^n=n!$ 个全排列，所以时间复杂度为 $O(n!)$。

递归实现全排列枚举

int n,a[33]={},ans=0,vis[33]={};//a表示全排列，vis表示有没有选
void dfs(int k)/*k表示一个全排列的一个数据*/{
	if(k==n+1){
		for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
		cout<<'\n';
		return;
	}for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[i]==0){
			vis[i]=1;//标记
			a[k]=i;//设置
			dfs(k+1);
			vis[i]=0;//回溯
			a[k]=0;
		}
	}
}

示例输入

3

示例输出

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

c++有一个内置的求上一个全排列的函数prev_permutation，和求下一个全排列的函数next_permutation。
这可以秒过本题，代码不再堆了。

洛谷P1008三连击

链接
全排列枚举 { 1 , 2 , … , 9 } \{1,2,\dots,9\} {1,2,…,9}，然后每三位一个数，并判断。
设排到 { 1 , 9 , 2 , 3 , 8 , 4 , 5 , 7 , 6 } \{1,9,2,3,8,4,5,7,6\} {1,9,2,3,8,4,5,7,6}，则三数为 $192,384,576$，因为 $192:384:576=1:2:3$，所以这是一组合法序列，输出这三个数。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[10]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int main(){
	do{
		int x=a[1]*100+a[2]*10+a[3];//第一个数
		int y=a[4]*100+a[5]*10+a[6];//第二个数
		int z=a[7]*100+a[8]*10+a[9];//第三个数
		if(x==y/2&&x==z/3) cout<<x<<' '<<y<<' '<<z<<endl;//判断
	}while(next_permutation(a+1,a+1+9));//全排列函数
	return 0;
}

这个代码必定输出：

192 384 576
219 438 657
273 546 819
327 654 981

组合枚举

就是在 $n$ 个数中挑选 $m$ 个数，时间复杂度为 $O(C_m^n)$。

组合型枚举

从 $1$ 到 $n$ 这 $n$ 个整数中随机选出 $m$ 个，首先，同一行内的数升序排列，相邻两个数用一个空格隔开。其次，按字典序输出。
代码如下：

int n,m,vis[33]={},num[33]={};
void dfs(int k,int mini){
	if(k==m+1){
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cout<<num[i]<<' ';
		}cout<<'\n';return;
	}for(int i=mini;i<=n;i++)/*因为按照升序排列，所以新设置一个参数mini*/{
		if(vis[i]==0){
			vis[i]=1;//标记
			num[k]=i;//设置
			dfs(k+1,i);//mini设为i，所以一定是升序排列
			vis[i]=0;//回溯
		}
	}
}

示例输入

5 3

示例输出

1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

这次总结到此结束！！！