【算法笔记】并查集

应用场景：

并查集可以非常快速的执行两个操作：

（1）将两个集合合并；
（2）询问两个元素是否在一个集合当中

基本原理：

用树的形式维护每个集合。每个集合的编号是根节点编号，每个点都存储了父节点是谁。当想求解某个点属于哪个集合的时候，一直找father找到树根。用这种方式快速找到元素属于哪个集合。每个节点存储他的父节点，p[x]表示x的父节点。

理解几个问题：

（1）如何判断树根？

如果是树根，有p[x] == x；如果不是树根，那么p[x] != x；

（2）如何求x的集合编号：

while (p[x] != x) x = p[x]；只要x不是树根，就往上走。

（3）如何合并两个集合？

把其中一个集合的根作为另一个根的子节点，p[x] = y。

可以看到，第二步的时间复杂度比较高。如何优化呢? 用到路径压缩方法，直接将所有点，直接指向根节点。这是一个很好的加速，可以看成O(1)的时间复杂度了。并查集还有另外一个优化，按秩合并，但优化效果没有那么明显。写代码的时候不会写按秩合并的优化的。只会写这个路径压缩。

并查集的核心操作，只有两行：

int find(int x) // 返回x的祖宗节点，应用了路径压缩
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); // 如果p[x]不等于x，则令p[x]等于x的祖宗节点
    return p[x]; // 返回p[x]，也就是返回了x的祖宗节点
}

这时给定了两个元素a和b，如果合并a、b所在集合的操作是：

p[find(a)] = find(b);  // 将a的根节点变为b的根节点的子节点，“认爹”

如果判断a、b是否在同一个集合：

if (find(a) == find(b))

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