爬楼梯算法的数学思路

爬楼梯算法的数学思路

今日腾讯实习面试，问到一题算法。
爬楼梯问题：一个楼梯一共n个台阶，一次上1或者2个台阶。问，一共多少种解法。
这个问题，当时学递归的时候，我记得做过。但是已经一年半没写过递归和动态规划。所以，第一反应是用数学思路解决。

数学的想法是这样的：
n已知
我们创建一个列表存放执行的步骤：
比如，有三个台阶。
**[1,1,1]**代表，我们每次走一个台阶，完成这个任务。
**[1,2]**代表，先走1个台阶，再走2个台阶。完成任务。
**[2,1]**代表，先走2个台阶，再走1个台阶。完成任务。

当已知的台阶数为n, 自然就有下面的想法。

1. [ n个1 ] 意为走了n个1完成任务
2. [ n-1 个 1； 1 个 2 ] 意为走了n-1个1， 走了一个2完成任务。
3. [ n-2 个 1； 2 个 2 ] 意为走了n-2个1， 走了两个2完成任务。
   …

一个重要的点是：
当我们采用走了n-1个1，和一个2时，它的方法总数其实应该是：
意为： 将1个2放到n-1个1中。
所以最后的结果应该为：

所有的和为：
sum = 1 + Cnk(n-1, 1) + Cnk(n-2, 2) + … Cnk(n/2 , n/2) 偶数情况。
sum = 1 + Cnk(n-1, 1) + Cnk(n-2, 2) + … Cnk(n//2 + 1 , n//2 - 1) 奇数情况。

注: n//2 为： 用n整除2， 然后取得的数向下取整。 （2.1取2， 2.9取2）
代码如下：