洛谷P4617

本文深入探讨了二分图博弈的两种策略,包括最大匹配非必须点上的必胜策略和扩展策略。通过匈牙利算法和网络流的方法,详细解释了如何在实际问题中应用这些策略。同时提供了相应的C++代码实现,帮助读者理解和掌握这两种算法。

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前言

二分图博弈的板子题,建议双倍经验[P4055 [JSOI2009]游戏],难度稍微高一点。

正文

本篇题解主要讲解二分图博弈的两种做法。
1. 结论
        先手在最大匹配非必须点上必胜。

        翻译一下:如果删去某个节点,最大匹配的答案不变,那么在这个点上先手必胜。

        简答证明(意会):假如先手在某个最大匹配非必须点上,后手选的点必在某个最大匹配上    (否则出现增广路),先手只需沿匹配边转移,后手必在在最大匹配上(理由同上)...

        最后一定停留在出发点的同一组,即先手必胜。
2. 做法
        匈牙利
        根据结论,很容易想到暴力删去每一点跑一遍最大匹配,但这样显然会超时。

        我们思考,对于任意一组最大匹配,什么情况下边可替换。

        首先,匹配之外的点必然合法。

        考虑从非匹配点出发,按照非匹配-匹配-非匹配-匹配...的边进行扩展。

  

### 关于动态规划 (Dynamic Programming, DP) 的解决方案 在解决洛谷平台上的编程问题时,尤其是涉及动态规划的题目,可以采用以下方法来构建解决方案: #### 动态规划的核心思想 动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。其核心在于存储重复计算的结果以减少冗余运算。通常情况下,动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。 对于动态规划问题,常见的思路包括定义状态、转移方程以及边界条件的设计[^1]。 --- #### 题目分析与实现案例 ##### **P1421 小玉买文具** 此题是一个典型的简单模拟问题,可以通过循环结构轻松完成。以下是该问题的一个可能实现方式: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; // 输入购买数量n double p, m, c; cin >> p >> m >> c; // 输入单价p,总金额m,优惠券c // 计算总价并判断是否满足条件 if ((double)n * p <= m && (double)(n - 1) * p >= c) { cout << "Yes"; } else { cout << "No"; } return 0; } ``` 上述代码实现了基本逻辑:先读取输入数据,再根据给定约束条件进行验证,并输出最终结果[^2]。 --- ##### **UOJ104 序列分割** 这是一道经典的区间动态规划问题。我们需要设计一个二维数组 `f[i][j]` 表示前 i 次操作后得到的最大价值,其中 j 是最后一次切割的位置。具体实现如下所示: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 5e3 + 5; long long f[MAXN], sumv[MAXN]; int a[MAXN]; int main(){ ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); int n,k; cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]; for(int i=1;i<=n;i++)sumv[i]=sumv[i-1]+a[i]; memset(f,-0x3f,sizeof(f)); f[0]=0; for(int t=1;t<=k;t++){ vector<long long> g(n+1,LLONG_MIN); for(int l=t;l<=n;l++)g[l]=max(g[l-1],f[t-1][l-1]); for(int r=t;r<=n;r++)f[r]=max(f[r],g[r]+sumv[r]*t); } cout<<f[n]<<'\n'; return 0; } ``` 这段程序利用了滚动数组优化空间复杂度,同时保持时间效率不变[^3]。 --- ##### **其他常见问题** 针对更复杂的路径覆盖类问题(如 PXXXX),我们往往需要结合一维或多维动态规划模型加以处理。例如,在某些场景下,我们可以设定 dp 数组记录到达某一点所需最小代价或者最大收益等指标[^4]。 --- ### 总结 以上展示了如何运用动态规划技巧去应对不同类型的算法挑战。无论是基础还是高级应用场合,合理选取合适的数据结构配合清晰的状态转换关系都是成功解决问题的关键所在。
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