第八章《Java高级语法》第4节：位运算经典应用举例

实际开发过程中，位运算有着相当广泛的应用，并且相对于算术运算，位运算的计算速度往往更快。本节就讲解一些使用位运算解决问题的经典例子。

8.4.1判断整数的奇偶性

按照传统的思路，判断一个整数的奇偶性是通过用这个数与2求模，看运算结果是否为0。其实使用位运算也能判断整数的奇偶性。我们知道：Java语言中，所有数字存储在内存中，都要先转换成补码的形式。任何一个偶数用补码表示出来后，它的最后一个二进制位都是0，而奇数补码的最后一个二进制位都是1。假设要判断奇偶性的整数是a，我们就可以通过判断a的补码的最后一位二进制数是0还是1从而判断出a是偶数还是奇数。判断的方法就是用a与1进行按位与的操作，如果结果为0，那么a就是偶数，如果结果为1，a就是奇数。这个判断原理可以用图8-23说明：

图8-23 判断整数奇偶性原理

图8-23中以横线为界，分别展示了a为偶数和奇数的情况下判断奇偶性的运算结果。以下【例08_05】展示了用位运算判断整数奇偶性的完整实现过程：

【例08_05 判断整数奇偶性】

Exam08_05.java

import java.util.Scanner;
public class Exam08_05 {
    public static void main(String[] args) {
        int a;
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入整数a的值");
        a = sc.nextInt();
        String result = (a&1)==0?"偶数":"奇数";
        System.out.println("a为"+result);
    }
}

8.4.2求整数绝对值

想要理解位运算求绝对值的原理，必须先知道如何通过位运算求出这个数自身以及它相反数的方法。我们知道：任何一个二进制位上的数，与0进行异或运算，运算的结果都与这个二进制位上的数相同。把这个结论扩展一下，从原来某个数的单独的一个二进制位扩展到这个数字本身，可以得出：任何一个整数与0进行按位异或运算后得到的就是这个整数自身。例如整数5与0进行按位异或运算的结果仍然是5。

另外，整数-1如果用补码来表示的话是32位全为1的二进制数。因此-1与任何一个整数进行按位异或运算，都可以达到“取反”的效果。按照补码的计算规则，一个正数按位取反后再加1，得到的就是它相反数。比如图中的数字5，按位取反后再加1得到的就是-5。

前文曾讲过：int型的正数经过带符号右移31位之后，得到的必然是0，而负数经过带符号右移31位得到的是-1。因此可以通过右移运算所得到的这个0或者-1，判断出这个数是正数还是负数。知道数字的正负属性，然后再用位运算的方式得到这个数本身或者是它的相反数，就能求出这个数的绝对值。下面的【例08_06】展示了用位运算求整数绝对值的完整实现过程。

【例08_06】用位运算求整数绝对值的完整实现过程

Exam08_06.java

import java.util.Scanner;
public class Exam08_06 {
    public static void main(String[] args) {
        int a,abs;//对变量a求绝对值，abs表示求绝对值的结果
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入整数a的值");
        a = sc.nextInt();
        int i = a>>31;//右移31位，a是正数时i值为0，a负数时i值为-1
        abs = (a^i)-i;//i为0且a为正数得到a自身，i为-1且a为负数得到a的相反数
        System.out.println(a+"的绝对值是："+abs);
    }
}

8.4.3 不借助中间变量交换两个变量的值

在第2.6.1小节中，曾经讲过交换两个变量值的实现方法，但实现过程中需要借助中间变量。如果使用位运算进行操作，不用借助中间变量就能实现交换两个变量的值。前文讲过：a^b^b的运算结果等于a。为了表述方便，把a^b的操作称为“用b对a加密”，之所以这么称呼，就是因为a与b进行了异或运算之后，得到一个全新的值，效果如同对a加密一样。另外,把a^b^b的操作称之为“还原”， 之所以这么称呼，就是因为a^b^b的运算结果等于a，如同是把a的值“加密”之后又进行了还原，恢复了a的值。使用位运算交换两个变量的值，就是利用加密和还原操作实现的。下面的【例08_07】展示了不借助中间变量交换两个变量值的完整实现过程。

【例08_07 不借助中间变量交换两个变量值】

Exam08_07.java

import java.util.Scanner;
public class Exam08_07 {
    public static void main(String[] args) {
        int a,b;//交换变量a和b的值
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入整数a的值");
        a = sc.nextInt();
        System.out.println("请输入整数b的值");
        b = sc.nextInt();
        System.out.println("交换前：a=="+a+"，b=="+b);
        a = a^b;//①得到a加密后的数据并赋值给变量a
        b = a^b;//②还原了原始a，并赋值到变量b中
        a = a^b;//③还原了原始b，并赋值到变量a中，完成交换
        System.out.println("交换后：a=="+a+"，b=="+b);
    }
}

【例08_07】中实现变量交换值的关键代码是语句①、②、③。为方便表述，此处把a和b最初的值称为“原始a”和“原始b”。语句①用b对a进行了加密操作，并且又赋值给了变量a，此时变量a就由原始数据变成了加密后的值。语句②把加密后的值与原始b进行异或运算，这样就还原了原始a的值，紧接着把这个值赋值给b，这样变量b中就存储了原始a的值。语句③用加密后的值与现在的b，也就是保存了原始a的变量进行异或操作，就能得到原始b的值，之后再把原始b的值赋值给变量a，这样就完成了变量a与b值的交换。

8.4.4 寻找不成对的元素

一个数组中，某个数只出现了一次，而其他数都出现了两次，要求编写程序把那个只出现了一次的数找出来。

前文讲过: 两个相同的数字进行异或运算，结果为0，而任何一个整数与0进行异或运算，其结果都是这个数本身。此外，任意N个整数进行异或操作，满足交换律。因此，只需要把数组中所有的元素都做一遍异或操作，所得到的值就是那个只出现了一次的数字。因为出现了两次的数字，它们之间进行异或操作会变为0。即使这两个数字没有挨在一起，但根据异或运算的交换律可以知道：位置关系并不影响运算结果，所以两个相同的数字只要都参与了异或运算，最终的结果都是0。而那个只出现了一次的数字，与0进行异或操作，其结果仍然是它自身的值。所以，异或运算的结果其实就是那个只出现了一次的数字。下面的【例08_08】展示了找到数组中不成对元素的完整实现过程。

【例08_08 找出不成对的元素】

Exam08_08.java

public class Exam08_08 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {1,3,4,2,3,1,4};
        int x = 0;
        for(int i=0;i<array.length;i++) {
            x = x^array[i];//全部数组元素参与异或运算
        }
        System.out.println("不成对的元素是："+x);
    }
}

这道题目还有另一个版本：有整型数组a和b，a数组中所有元素都出现在b数组中，但b数组比a数组多出一个元素，编写程序找到b数组中多出来的这个元素。这个版本中虽然出现了两个数组，但实现算法的思路并没有发生变化，只是由原来的一个数组全部元素参与异或运算，变成了两个数组中的元素都要参与异或运算，下面的【例08_09】展示了解答这个题目的完整实现过程：

【例08_09找出不成对的元素之版本2】

Exam08_09.java

public class Exam08_09 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {11,34,9,-4,100,98};
        int[] b = {34,55,11,9,100,-4,98};
        int x = 0;
        for(int i=0;i<a.length;i++) {
            x = x^a[i]^b[i];//两个数组中的元素都要参与异或运算
        }
        //数组b中多一个元素，还要让数组b中最后一个元素也参与到异或运算中
        x = x^b[b.length-1];
        System.out.println("不成对的元素是："+x);
    }
}

8.4.5求集合的所有子集

所谓集合的子集，就是一个集合的部分元素所形成的集合。其中空集和该集合自身也属于这个集合的子集。

一个包含n个元素的集合，恰好可以用一个n位的二进制数来表示它的每个元素有没有出现在子集中。0表示没出现，1表示出现。例如一个集合{a,b,c}，就可以用一个3位的二进制数来表示每个元素是否出现。“000”表示所有元素都没有出现，所形成的子集就是{}(空集)，“001”表示a、b两个元素未出现，元素c出现，由此形成的子集为{c}，以此类推，“010”所表示的子集为{b}，“011”所表示的子集为{b,c}，“100”所表示的子集为{a}，“101”所表示的子集为{a,c}，“110”所表示的子集为{a,b}，“111”所表示的子集为{a,b,c}。

通过以上列举可以看出：任意一个3位的二进制数s，都可以表示集合{a,b,c}的一个子集。根据排列组合的知识可以得知：假设集合的元素个数为n，可以形成2的n次方个子集。而“2的n次方”用位运算的方式就可以表示为“1<<n”。

那么，如何根据s的值计算它所表示的子集中有哪几个元素呢？因为二进制数中的1表示元素出现，所以只要根据s当中1出现的位置就能算出子集中有哪些元素。接下来的问题就是：如何确定s中1出现的位置？我们可以设置一个初始值为001的二进制数x，让x和s做按位与运算，并记录运算结果。之后对x进行1位左移操作，这样就相当于向左移动了1的位置。左移x后再次与s进行按位与操作，并记录运算结果，以此类推，直到x中的1移动到做左边为止。只要观察x与s按位与运算的结果是否为0就能判断s中1所出现的位置，这个判断的原理如图8-25所示。

图8-25 判断二进制数中1的位置原理图

此处用字母i表示x中1的位置。从图8-25可以看出：如果x和s的第i位上都是1，那么x和s按位与的结果必定不为0，因此可以根据按位与的结果是否为0来判断s的第i位是否为1。例如，1在x中处于第1位时，x和s按位与的结果不为0，可以推出s的第1位上是1。同理，1在x中处于第3位时，x和s按位与的结果不为0，可以推出s的第3位上是1。通过这种方式就能判断出s当中1出现的位置，而知道了s中1的位置后，就能对应推出二进制数s代表的子集中包含哪些元素。下面的【例08_10】展示了求集合的所有子集的完整实现过程。

【例08_10 求集合的所有子集】

Exam08_10.java

public class Exam08_10 {
    public static void main(String[] args)  {
        String[] set = {"a","b","c"};//以数组set表示一个集合
        int n = set.length;//以n表示集合元素个数
        for(int s=0;s<(1<<n);s++){//s表示二进制数，1<<n表示2的n次方，排列所有子集
            System.out.print("{");//先打一个左括号
            for(int offset=0;offset<s;offset++){//offset表示x左移的位数
                if((s&(1<<offset))!=0){//判断二进制数s的第offset+1位是否为1
                    System.out.print(set[offset]+" ");//打印第offset+1个元素
                }
            }
            System.out.println("}");//子集元素打印之后再打一个右括号
        }
    }
}

【例08_10】的运行结果如图8-26所示。

图8-26 【例08_10】运行结果

程序运行结果可能有点出乎读者预料。很多人认为元素“c”位于集合的最右边，按照程序运行的顺序，输出空集之后，第一个被输出的元素应该是“c”，但实际第一个输出的元素是“a”，这是因为：我们在排列集合的子集时，是把最右边的“c”当成第一个元素的，而程序实际运行的时候，是从左向右打印数组元素，也就是把最左边的“a”当成了第一个元素。其实无论从左向右数，还是从右向左数，所有的子集都会被列举出来。

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